Нелинейное диофантово уравнение

[Лукомор]

(grizzly)

grizzly в сообщении #1189290 писал(а):

а не только воспользовался Вашими.

Оказывается, не все так просто!

[Stensen]

Лукомор!
help, сдаюсь!

[wrest]

Stensen в сообщении #1189306 писал(а):

что каждая часть зависит только от своей переменной. Если в этом дело, то не знаю чем мне это поможет?

Запишите области значений левой и правой частей (для целых иксов и игреков, естественно), сравните.

[Sinoid]

Stensen в сообщении #1189298 писал(а):

Из-за того, что правая часть должна одновременно делиться на $x $ и $k$ видно, что $x=k$ , и отсюда $x=-1$ и $y=\pm 1$. Верно?

Нет, не верно. Уравнение

Stensen в сообщении #1189267 писал(а):

$x^3k^2=x(1+k)+k$.

Содержит, кроме прочих, интересующие переменные в первых степенях. Попробуйте скобки раскрыть, что ли.

[Лукомор]

Stensen в сообщении #1189317 писал(а):

Лукомор!
help, сдаюсь!

"А чего сразу Лукомор?"
(с) Лукомор
---
Я бы сначала хотел узнать, из какого учебного курса Ваша задачка?

[Stensen]

Лукомор в сообщении #1189339 писал(а):

Stensen в сообщении #1189317 писал(а):

Лукомор!
help, сдаюсь!

"А чего сразу Лукомор?"
(с) Лукомор
---
Я бы сначала хотел узнать, из какого учебного курса Ваша задачка?

Бардушкин и др. "Основы теории делимости и решение уравнений в целых числах, 2004". № 8.13(1)

[Лукомор]

Ага!
Ну, во-первых, там, в книжке, ответ не правильный, а у Вас - правильный, это уже что-то!
Во-вторых, там приведен пример, как решать подобные задачи, так что не слушайте Лукомора, а делайте по образцу!
Потому, что математика от ВУЗа к ВУЗу, и от учебника к учебнику отличаются, и иногда очень сильно.
Поэтому забудьте все, что я тут писал, и начинайте с чистого листа...

[grizzly]

Лукомор в сообщении #1189366 писал(а):

Потому, что математика от ВУЗа к ВУЗу, и от учебника к учебнику отличаются, и иногда очень сильно.

Это звучит жестоко, тем не менее нужно уметь решать задачи именно так, как это рекомендуют авторы курса. Иначе на выходе студент разовьёт способности решать школьными методами более сложные задачи и не усвоит стандартных методик теории чисел.

(Оффтоп)

Но неужели в самом деле авторы курса не могут подобрать такой пример, который проще было бы решить предлагаемым приёмом, чем простым перебором в уме? Пусть это будет один единственный пример на весь параграф -- тот, на котором демонстрируется метод. Так ведь нет -- и демонстрационный пример в учебнике тоже тривиально просчитывается в уме после разнесения переменных. Но вместо этого предлагается какая-то зубодробильная техника на целую страницу, которую в уме мне затруднительно проверить даже по написанному.

[Stensen]

Cash в сообщении #1189270 писал(а):

Для
$(1) \qquad x^3k^2=x(1+k)+k $ нужно доказать 2 утверждения:

a) $k|x$
b) $x|k$

Поделим (1) сначала на $x$ и получим:

$x^2k^2=1+k+\frac{k}{x}$, потом (1) на $k$ :

$x^3k=x+1+\frac{x}{k}$ .

Т.к. справа и слева должны стоять целые, то $k=xn, x=km \Rightarrow x=k$. Подставим это в (1) и получим:

$x(x-1)(x^2+x+1) =2 $. Т.к. $2$ - простое, то выполняется только для $x=-1$. Все ли здесь верно?

wrest в сообщении #1189323 писал(а):

$\frac{x+1}{x^2} = \frac{y^2 -1}{y}$ Запишите области значений левой и правой частей (для целых иксов и игреков, естественно), сравните.

Сравнил, обе части на целых аргументах, совпадают только при $(-1, -1); (-1,1) $. Отсюда вывод об отсутствии других решений. Верно?

[Cash]

Stensen в сообщении #1189487 писал(а):

Т.к. справа и слева должны стоять целые, то $k=xn, x=km \Rightarrow x=k$. Подставим это в (1) и получим:

$x(x-1)(x^2+x+1) =2 $. Т.к. $2$ - простое, то выполняется только для $x=-1$. Все ли здесь верно?

Sonic86 в сообщении #1189145 писал(а):

Надо только не забыть, что в $\mathbb{Z}$ две единицы, а не одна

[Stensen]

Sonic86 в сообщении #1189145 писал(а):

Надо только не забыть, что в $\mathbb{Z}$ две единицы, а не одна

Имеете в виду, что двойку можно разложить: $2=1\cdot2=(-1)\cdot(-2)$ ? И в соответствии с этим искать решения?

[Cash]

Нет.

[Stensen]

Sonic86 в сообщении #1189145 писал(а):

Надо только не забыть, что в $\mathbb{Z}$ две единицы, а не одна

Не хочу угадывать, видимо имеются в виду: $1, \,-1$, и нужно не забыть проверить для $+1, \,-1$ ? Решения для них я нашел. Или Вы имеете в виду что-то другое?

[Cash]

А не надо угадывать. Надо у себя в тех двух строчках ошибку найти. Во второй строчке, как выяснили, ошибки нет.
Осталась одна. В ней записано ровно одно утверждение. И оно неверное.

[Stensen]

Cash в сообщении #1189488 писал(а):

Stensen в сообщении #1189487 писал(а):

Т.к. справа и слева должны стоять целые, то $k=xn, x=km \Rightarrow x=k$. Подставим это в (1) и получим:
$x(x-1)(x^2+x+1) =2 $. Т.к. $2$ - простое, то выполняется только для $x=-1$.

Sonic86 в сообщении #1189145 писал(а):

Надо только не забыть, что в $\mathbb{Z}$ две единицы, а не одна

Похоже понял.
$(1) \qquad x^3k^2=x(1+k)+k $ . Для доказательства 2-х утверждений:
a) $k|x$
b) $x|k$
делил (1) на $x$ и на $k$ и получил $k=xn, x=km$, откуда: $x=\pm k$, (а не: $x=k$ -исправил.). Далее для $x=k $ решил, а для $x=-k$: $x^2(x^3+1)=0$, откуда: $x=0,\, x=-1$. Верно?

-- 05.02.2017, 11:03 --