Разложение на элементарные дроби и преобразование Лапласа

[Krogg]

Здравствуйте, помогите разобраться, у меня тут пример на тему обратного преобразования Лапласа

$H(s) =\frac{s+7}{s^2 + s +7}$

Можно ли как-то решить этот пример с помощью преобразования знаменателя? Смущают комплексные корни

Т.е., в примерах, когда перед $s$ в знаменателе стоит, например, кратное двум число, я знаю что делать. Например $s^2 +4s + 5$ я раскладываю на $(s+2)^2+1$ и решаю дальше, а вот тут что-то не вижу как такое провести

Смысл задания перейти к оригиналу

Спасибо

[Sinoid]

Krogg в сообщении #1188669 писал(а):

например, кратное двум число

Я, конечно, в преобразованиях Лапласа ноль, но а что, требование целости коэффициентов там существенно?

[Krogg]

Sinoid в сообщении #1188676 писал(а):

Krogg в сообщении #1188669 писал(а):

например, кратное двум число

Я, конечно, в преобразованиях Лапласа ноль, но а что, требование целости коэффициентов там существенно?

Неожиданный вопрос) Там, в принципе, надо исходное выражение методом алгебраических преобразований привести к табличной форме/формам, при том как-то обойти комплексные корни. Поэтому я думаю, что да

Во всяком случае я все примеры только с целыми коэффициентами видел)

[Sinoid]

Мне кажется, у вас проблемы с банальным выделением квадрата, но с учетом этого:

Krogg в сообщении #1188682 писал(а):

Неожиданный вопрос) Там, в принципе, надо исходное выражение методом алгебраических преобразований привести к табличной форме/формам, при том как-то обойти комплексные корни. Поэтому я думаю, что да

Как насчет того, чтобы попытаться найти множитель для числителя и знаменателя, чтобы в знаменателе было удобно выделить квадрат?

[Krogg]

Sinoid в сообщении #1188689 писал(а):

Мне кажется, у вас проблемы с банальным выделением квадрата,

Если честно, есть такое

И в данном случае я в упор не вижу, что можно было бы тут сделать, буду думать, спасибо

-- 30.01.2017, 18:35 --

Пример взят отсюда. Первый пример в видео. Они решают тупо в лоб с комплексными корнями, мне было интересно можно ли как-то красиво это все преобразовать

[Someone]

Krogg в сообщении #1188697 писал(а):

мне было интересно можно ли как-то красиво это все преобразовать

Можно. Но, как минимум, надо знать формулу квадрата суммы. Знаете? Напишите.

[Krogg]

Знаем)

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

[Someone]

Ну вот теперь сравниваем заданное выражение $s^2+s+7$ с формулой $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. На первом месте $s^2$ и $a^2$. Значит, $a=s$. Дальше идёт $s$ и $2ab$. Значит, $2ab=s$. Отсюда $b=?$ Ну и дальше там должно быть $b^2$. А на самом деле стоит $7$. Как получить полный квадрат?

$$s^2+s+7=\underbrace{s^2+2s?+?^2}_{a^2+2ab+b^2}-?^2+7$$

[Krogg]

Ну я вижу только это)

$s^2+s+7 =$ $(s+\frac{1}{2})^2 + \frac{27}{4}$

[Someone]

Ну вот оно самое и есть.

[Krogg]

Спасибо)

Тогда получается

$ \frac{s+7}{(s+\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}$ = $A\cdot \frac{(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} + B\cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}

Откуда $A=1, B=\frac{13 \sqrt{3}}{9}$

И тогда

$H(s) =\frac{s+7}{s^2 + s +7}$ $= $ $ \frac{(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} + \frac{13\sqrt{3}}{9}\cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}$

Что я уже дальше могу использовать таблично, но как-то все это выглядит не очень красиво)

[Someone]

Krogg в сообщении #1188752 писал(а):

как-то все это выглядит не очень красиво

Да нормально выглядит, просто громоздкие иррациональные выражения картину портят. Но они в любом случае будут, никуда от них не деться.