2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 18:10 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Пусть отображение трехмерного пространства $g$
1) оставляет неизменным расстояние между точек
и $T(v) = g(p_1) - g(p_2), v = p_1 - p_2$
2) $T [v_1, v_2] = [T(v_1), T(v_2)]$
Как доказать что $T$ - линейное? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 20:10 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Сначала доказать, что для любых трех точек $O,A,B$ выполняется $(\vec{OA},\vec{OB})=(\vec{O'A'},\vec{O'B'})$.
Значит, если $O,\vec {OA},\vec {OB},\vec {OC}$ -- ортонормированный репер, то $O,\vec {OA},\vec {OB},\vec {OC}$ -- тоже ортонормированный репер и для любой точки $X$ коэффициенты разложения вектора $\vec{OX}$ по первому реперу совпадают с коэффициентами разложения вектора $\vec{O'X'}$ по второму реперу. Значит линейное (со сдвигом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 20:15 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Скалярное произведение двух векторов можно выразить через норму суммы и норму разности этих векторов.
Но как разобраться тогда с оператором $T(\vec{OA} + \vec{OB}))$ от суммы? Мы же на данный момент не знаем, что он линейный :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 20:16 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
А , из второго условия должно следовать, что сдвига нет? Не понял запись, извиняюсь. Попробуйте записать условия, используя различные обозначения для точек и векторов, как в аффином пространстве. Квадратные скобки - это векторное произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 20:19 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Нет, сдвиг никто не запрещает: $p_1, p_2$ - точки, $v$ - вектор от точки $p_2$ к точке $p_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 20:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Доказать, что оператор $T\colon\mathbb R^3\to \mathbb R^3$, сохраняющий расстояние между точками, является аффинным, легко. Во втором сообщении темы я написал, как. Ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер, и координаты любой точки $X$ относительно исходного репера совпадают с координатами точки $T(X)$ относительно преобразованного репера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 21:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
DLL в сообщении #1188650 писал(а):
Как доказать что $T$ - линейное? :facepalm:
Никак. В точечном пространстве бывают только аффинные преобразования. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что преобразование твердого тела линейно?
Сообщение30.01.2017, 22:28 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Если переформулировать для $T$ в векторном пространстве $R^3$ получается:
1) $||T u|| = ||u||$
2) $T [v_1, v_2] = [T v_1, T v_2]$
для всех $u, v_1, v_2$.

-- Пн янв 30, 2017 23:38:39 --

Только из условия (1), что это линейное преобразование ну точно не следует :)

-- Пн янв 30, 2017 23:57:22 --

А, сорри понял в чем дело. $T$ определен корректно только когда $g$ - аффинное преобразование. Вопрос снят :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group