Закон движения. Обратимость координаты

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, лекция 45, § 3 Обратимость в механике
http://www.politazbuka.info/biblioteka/ ... iyami.html , стр.144-145

Цитата:

Но решения способны и на большее. Решая уравнения дви- жения, мы можем получить некоторую функцию, скажем $t+t^2+t^3$. Мы утверждаем, что другим решением будет $-t+t^2-t^3$.Иными словами, если всюду в решение подставить $-t$ вместо $t$, то мы получим еще одно решение того же уравнения. Это произойдет оттого, что при замене $t$ на $-t$ в первоначальном дифференциальном уравнении ничего не изменится: в нем при- сутствуют лишь вторые производные по времени.

Не могу понять, что нужно делать, чтобы обратить закон движения. Имеем закон $x(t)=t+t^2+t^3.$ Дифференциальное уравнение следовательно выглядит так $\frac{d^2x}{dt}=2+6t.$ Если поменять знак при $t$, то получится другое уравнение $\frac{d^2x}{dt}=2-6t.$ Даже если поменять знаки при $dt$, вторая производная превращается сама в себя, а правая часть всё равно меняется.

Не могу понять, как меняется время . $t\in [0;+\infty)$ до и после изменения знаков , правильно ? Надо ли менять знаки при $dt$ и почему?

То, что $x(-t)=-t+t^2-t^3$ и так понятно из правил записи функций. Тогда зачем Фейнман выводит это из диф. уравенния ? Или правильная запись второго решения $x(t)=-t+t^2-t^3$? Я так понимаю, судя по тексту, что движение напр. точки на храповике из нулевого положения равновероятно в противоположные стороны. Значит, графики двух "решений" должны быть зеркальными относительно оси $t$, а они оказываются зеркально отраженными относительно оси $x$.

[Metford]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188345 писал(а):

Тогда зачем Фейнман выводит это из диф. уравенния ?

Фейнман говорит, что если Вы нашли одно решение, то другое Вы получаете в качестве бесплатного приложения.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188345 писал(а):

Имеем закон $x(t)=t+t^2+t^3.$ Дифференциальное уравнение следовательно выглядит так $\frac{d^2x}{dt}=2+6t.$

Нет. Одна и та же функция может быть решением разных дифференциальных уравнений. Так что, по известному движению дифференциальное уравнение восстанавливается неоднозначно.

[Uchitel'_istorii]

Как я понимаю, описанное изменение знаков и дополнительное решение должны быть применимы к любым уравнениям механики. Значит, если диф. уравнение выглядит как $\frac{d^2x}{dt^2}=2+6t$, имея начальные условия $x(0)=0 , v(0)=1,$ мы получаем решение $x(t)=t+t^2+t^3$. Подставляем решение в диф. уравнение, и получаем тождество. Подставляем якобы второе решение $x(t)=-t+t^2-t^3$ того же диф. уравнения, и получаем противоречие:
$2-6t\neq 2+6t.$
Как это объяснить?

[Metford]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188411 писал(а):

и получаем противоречие

которое заключается в чём?

[warlock66613]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188411 писал(а):

Как я понимаю, описанное изменение знаков и дополнительное решение должны быть применимы к любым уравнениям механики.

Нет, в описанном вами (и Фейнманом) виде — не к любым. И Фейнман вполне конкретно пишет к каким.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188411 писал(а):

Значит, если диф. уравнение выглядит как $\frac{d^2x}{dt^2}=2+6t$

Теплее...
"Если".

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Теплее...

Фейнман говорит: "Возьмем простой случай , скажем тяготение, когда силы определяются только расположением..."
Т.е. силы определяются координатой. Т.е. диф. уравнение выглядит так $\frac{d^2x}{dt^2}=-g$ или так $\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{x^2}$. Правильно?
В первом случае согласен. Во втором случае сила зависит от координаты, а координата зависит от времени, следовательно сила зависит от времени (не факт, что линейно, но зависимость есть). И второе: если диф. уравнения именно такие, то как Фейнман получил решение $t+t^2+t^3$? Или это просто с потолка взятое выражение , не связанное с повествованием, для демонстрации?

[warlock66613]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188492 писал(а):

так $\frac{d^2x}{dt^2}=-g$ или так $\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{x^2}$

А почему не $\frac{d^2x}{dt^2}=-\sin\frac{1}{x^2}$?

[Uchitel'_istorii]

На момент лекции 45 Фейнман дал для силы только формулу закона всемирного тяготения $|F|=G\frac{mM}{r^2}$. Если положить, что $GM=1$, то диф. уравнение будет $\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{x^2}$ (одномерный случай, массы $m$ и $M$ на оси $X$). Поправьте, если ошибаюсь.

[warlock66613]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188515 писал(а):

Поправьте, если ошибаюсь.

Ваша главная ошибка в том, что вы полагаете, что если Фейнман дал только формулу закона всемирного тяготения, то больше никаких сил в природе нет, и появятся они лишь тогда, когда вы дочитаете ФЛФ до того места, где для них будет написана формула.

Дело в том, что Фейнман вряд ли мог предположить, будто его слушателям придёт в голову в мысль, что определяющую роль в движении молекул играет гравитационное взаимодействие между ними — всё же какими-то минимальными предварительными сведениями слушатели должны обладать.

Но даже если представить мир, где нет ничего кроме ньютоновского тяготения и роя точечных частиц, то всё равно уравнение неправильное. Подсказка: частиц может быть больше одной, например три: $x(t)$, $x_1(t)$, $x_2(t)$ (и у каждой частицы кроме координаты $x$ есть ещё $y$ и $z$). И каким в таком случае будет уравнение? А если частиц миллион?

[Ether]

Обратимость движения имеет место тогда, когда сохраняется механическая энергия системы.

Например для идеального маятника.

[Someone]

Uchitel'_istorii в сообщении #1188345 писал(а):

Не могу понять, что нужно делать, чтобы обратить закон движения. Имеем закон $x(t)=t+t^2+t^3.$ Дифференциальное уравнение следовательно выглядит так $\frac{d^2x}{dt}=2+6t.$ Если поменять знак при $t$, то получится другое уравнение $\frac{d^2x}{dt}=2-6t.$ Даже если поменять знаки при $dt$, вторая производная превращается сама в себя, а правая часть всё равно меняется.

Прежде всего, нужно записать уравнение так, чтобы в нём не было явной зависимости от времени. Ведь материальная точка движется так не сама по себе, а вследствие взаимодействия с чем-то. Вот вместо этой функции ($2+6t$) в правой части должна быть указана сила, заставляющая тело двигаться именно с таким ускорением. Причём, в выражение для силы буковка $t$ не должна входить.

Uchitel'_istorii в сообщении #1188345 писал(а):

Надо ли менять знаки при $dt$ и почему?

Надо. Потому что $d(-t)=-dt$. Математический анализ изучали?

[Uchitel'_istorii]

warlock66613 в сообщении #1188518 писал(а):

Но даже если представить мир, где нет ничего кроме ньютоновского тяготения и роя точечных частиц, то всё равно уравнение неправильное. Подсказка: частиц может быть больше одной, например три: $x(t)$, $x_1(t)$, $x_2(t)$ (и у каждой частицы кроме координаты $x$ есть ещё $y$ и $z$). И каким в таком случае будет уравнение?

Думаю, так должно быть для одномерного случая (из лекции 9, ур. 9.18):
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-G\frac{m\cdot m_1(x-x_1)}{|x-x_1|^3} -G\frac{m\cdot m_2(x-x_2)}{|x-x_2|^3};$
$m_1\frac{d^2x_1}{dt^2}=-G\frac{m_1\cdot m(x_1-x)}{|x_1-x|^3} -G\frac{m_1\cdot m_2(x_1-x_2)}{|x_1-x_2|^3};$
$m_2\frac{d^2x_2}{dt^2}=-G\frac{m_2\cdot m_1(x_2-x_1)}{|x_2-x_1|^3} -G\frac{m_2\cdot m(x_2-x)}{|x_2-x|^3}.$

Цитата:

Дело в том, что Фейнман вряд ли мог предположить, будто его слушателям придёт в голову в мысль, что определяющую роль в движении молекул играет гравитационное взаимодействие между ними — всё же какими-то минимальными предварительными сведениями слушатели должны обладать.

Я понимаю, что во 2-й з-н Ньютона подставлять надо результирующую силу. Но Фейнман дал готовое решение $t+t^2+t^3$, и я не представляю какое может быть диф. уравнение (кроме $\frac{d^2x}{dt^2}=2+6t$) , решением которого является $t+t^2+t^3$. Частица может двигаться в поле, таком что сила меняется линейно? Или как это интерпретировать?

Someone в сообщении #1188535 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1188345 писал(а):

Надо ли менять знаки при $dt$ и почему?

Надо. Потому что $d(-t)=-dt$. Математический анализ изучали?

Изучал очень давно (повторяю вместе с Фейнманом). Знаки при $dt$ меняются, если меняем направление интегрирования. Тут интегрирования нет. Я до сих пор не могу понять, что Фейнман обращает. Если менять знак аргумента, то график обращается относительно оси функции, и для положительного аргумента (времени) получается картина, как будто время прокрутили назад для первоначального решения. Если время отматывать назад, то это значит, что мы обратили координату? Если взять диф. уравнение движения пружинного маятника и нулевую начальную скорость, то движение получается одинаковое (направлено в одну и ту же сторону), независимо, куда направлено время. Не уверен, что будет, если скорость ненулевая или если уравнение будет более сложное. Если это в двух словах не объяснишь, посоветуйте книгу (или методичку, как в этом посте мне советовали - там вкратце теория, но хорошо написано)

[mihiv]

Можно рассмотреть более простой пример. Пусть у нас есть уравнение $\ddot x=x$, оно имеет среди многих , например, такое решение: $x=e^t$. Тогда можно утверждать, что $x=e^{-t}$ также является решением этого уравнения.