2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение29.01.2017, 14:00 


02/11/08
118
Мне кажется парадоксальным вот что:

Представим, что вакууме покоится тяжелый шар диаметром $D$ . Через центр шара, насквозь-диаметрально, проделано ("проколото") отверстие маленького диаметра $d<<D$. Нас интересует поле в вакууме, на оси отверстия. Поле считаем слабым.

Рассмотрим два объекта:

1. Объект $A$ - это сплошной шар.
2. Объект $B$ - это шар с отверстием.

Для внутреннего решения:

Для шара $A $ есть известное решение, и соответственно должно получиться

$G_{ij}^{A} \neq 0 \;\; (1) $

Теперь переходим к шару $B$. Нас интересует поле в вакууме, на оси проколотого отверстия. Кажется разумным полагать, что при стремлении диаметра отверстия к нулю, при соответствующем сравнении, будет складываться следующая ситуация

$ (d\rightarrow 0)  \rightarrow \ (g_{ij}^{B}\rightarrow g_{ij}^{A})\;\; (2) $

Т.е. картина поля на оси отверстия шара $B$ будет все более точно приближаться к картине поля шара $A$, по мере уменьшения диаметра отверстия.

Тогда, из $(2)$ следует, что для любого, сколь угодно малого $ \varepsilon \neq0$, можно будет найти такое $d_{\varepsilon }=d(\varepsilon )\neq 0$, что, при соответствующем сравнении, будет выполняться

$ \left |G_{ij}^ {A}-G_{ij}^{B}  \right |<\varepsilon \;\; (3) $

Однако, у нас есть также условие для поля в вакууме, на оси отверстия шара $B$

$G_{ij}^{B}= 0\;\; (4)  $

Но условие $(4) $ противоречит выводу $(3)$. Это сильно похоже на парадокс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение29.01.2017, 15:48 
Заслуженный участник


21/09/15
632
А почему у вас то $g$ то $G$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение29.01.2017, 22:50 


04/01/10
77
Тензор $G_{ij}$ зависит от производных $g_{ij}$. Если для метрических коэффициентов будет выполняться (2), то это не значит, что из него следует (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение30.01.2017, 18:52 
Аватара пользователя


16/09/15
267
А зачем, позвольте, тут теория относительности?Вы подобный "парадокс" могли бы построить много для чего(то, что любое вещество имеет "дыры" между частицами вас не смущает? :-) ).
По существу:
Ошибочно конкретно вот это утверждение:
Z.S. в сообщении #1188253 писал(а):
Однако, у нас есть также условие для поля в вакууме, на оси отверстия шара $B$
$G_{ij}^{B}= 0\;\; (4)  $


Уравнения Эйнштейна, вариация действия материи $\delta S_{m}(\delta g_{ik})$ по метрике в частности, вообще говоря, выводятся ,считая, что материя непрерывна.

Если, например, на поверхности симметричного шара, вы можете сказать, типа "вот граница", дальше $G_{ik}=0$ (и решения нормально сшиваются), то делать это в какой-то "криво" выколотой очень тонкой области внутри вещества и говорить "все, тут вакуум и производных нет" - большая ошибка.

Аппарат ОТО так не устроен.Уравнения Эйнштейна не являются критерием наличия/отсутствия вещества в данной точке.Они рассчитаны на непрерывность.А если разрыв есть - то считается "усреднено".Как в решении Фридмана для вселенной, например. Там плотность вселенной постоянная величина.

То есть в описанном случае ($d\approx 0$), метрику и, соответственно, ее производные можно приблизительно считать такими же, как и в случае A.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 11:43 
Аватара пользователя


14/11/12
1078
Россия, Нижний Новгород
Z.S., формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$, так как с разных сторон от границы, вообще говоря, могут быть использованы разные системы координат $x^{\mu}_{A}$ и $x^{\mu}_{B}$. Для сшивки двух решений нужно требовать чтобы на границе индуцировалась одна и та же геометрия.

Пусть $z^i$ -- некоторые координаты на граничной поверхности, тогда решение $A$ индуцирует на граничной поверхности метрику $\gamma^{A}_{i j}(z)$ такую что:
$$
\gamma^{A}_{i j}(z) = g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i}  \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^j}, 
$$ одновременно, решение $B$ индуцирует на той же самой граничной поверхности метрику $\gamma^{B}_{i j}(\tilde{z})$ такую что:
$$
\gamma^{B}_{i j}(\tilde{z}) = g^{B}_{\mu \nu}(x_B(\tilde{z})) \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^i}  \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^j},
$$ причём $\tilde{z}^i$ -- вообще говоря некая другая система координат не совпадающая с $z$. Условие сшивки - это требование чтобы $\gamma^{A}_{i j}(z)$ и $\gamma^{B}_{i j}(\tilde{z})$ описывали одну и ту же геометрию, то есть они должны быть связаны друг с другом преобразованием $z$, $\tilde{z}$ координат:
$$
\gamma^{A}_{i j}(z) = \gamma^{B}_{k l}(\tilde{z}) 
\frac{\partial \tilde{z}^{k}}{\partial z^i} 
\frac{\partial \tilde{z}^{l}}{\partial z^j}
$$

Erleker, я с Вами не согласен. Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 14:20 


02/11/08
118
Просто я исходил из того, что для случая $A$, сплошного шара, в изотропных координатах, например

$\frac{8\pi G}{c^4}T_{00}=-\mu ''-\frac{\mu '^2}{4}-\frac{2\mu '}{R}\; \; (A)$

А для случая $B$, для поля на оси отверстия (т.е. в вакууме)

$0=-\mu ''-\frac{\mu '^2}{4}-\frac{2\mu '}{R}\; \; (B)$

Взять, например, такой шар с отверстием :

$D=10^6 \text{м}$, $d=10^{-3}\text{м}$, $\rho=10^4 \text{кг}/ \text{м}^3$

Задача - найти функцию $\mu_B=\mu_B(R) $ на оси отверстия. Можно, для удобства, считать, что $T_{00}= \operatorname{const}$.

Erleker. Так называемый "парадокс" - это (с очень большой вероятностью) следствие элементарного (моего) непонимания элементарных вещей.

Но вот
SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):
Erleker, я с Вами не согласен. Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

Кроме того, можно же начать с $d=10^{3}\text{м}$ и постепенно довести до $d=10^{-3}\text{м}$. Где тот критерий, когда уже можно начать усреднять, и когда еще нельзя? Когда, на каком диаметре отверстия, решение "переходит" от вакуумного к невакуумному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 14:27 
Аватара пользователя


16/09/15
267
SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):
формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$, так как с разных сторон от границы, вообще говоря, могут быть использованы разные системы координат $x^{\mu}_{A}$ и $x^{\mu}_{B}$.

Если действительно не накладывать условие для граничного равенство метрик, то я с вами согласен:
SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):
Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

Но почему вы считаете, что оно необязательно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 15:38 
Аватара пользователя


14/11/12
1078
Россия, Нижний Новгород
Erleker, потому что с разных сторон от граничной поверхности могут быть использованы разные системы координат. Например, в одной из систем координат метрика диагональна, а в другой не диагональна. Недиагональная компонента одной из метрик на граничной поверхности не обязана обращаться в ноль, но, при этом, разумеется, индуцированные метрики граничной поверхности должны быть эквивалентными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 16:16 
Аватара пользователя


16/09/15
267
SergeyGubanov Могут - это понятно.Но почему нельзя по обе стороны выбрать такую, которая бы сшивались с граничными условиями?Как вы вообще учтете влияние окружающего полость вещества?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 18:11 
Аватара пользователя


14/11/12
1078
Россия, Нижний Новгород
Erleker, что конкретно не понятно в следующем объяснении:

Есть два псевдоримановых многообразия $A$ и $B$ размерности $4$, в одном задана система координат $x^{\mu}_A$ и метрика $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$, а в другом задана система координат $x^{\alpha}_B$ и метрика $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$.

Есть псевдориманово многообразие $\Gamma$ размерности $3$. Оно может быть вложено и в $A$ и в $B$. Другими словами многообразие $\Gamma$ является гиперповерхностью в $A$, а так же гиперповерхностью в $B$

Интерпретация:
  • многообоазие $A$ является решением уравнений ОТО в веществе,
  • многообразие $B$ является решением уравнений ОТО в вакууме,
  • гиперповерхность $\Gamma$ является границей вещество/вакуум.

Уравнение гиперповерхности $\Gamma$ в многообразии $A$:
$$
x^{\mu}_A = X^{\mu}_A (z),
$$ здесь $z^i$ -- какая-то трёхмерная система координат заданная на $\Gamma$.

Уравнение гиперповерхности $\Gamma$ в многообразии $B$:
$$
x^{\alpha}_B = X^{\alpha}_B (\tilde{z}),
$$ здесь $\tilde{z}^i$ -- какая-то (другая) трёхмерная система координат заданная на $\Gamma$.

Можно разрезать многообразие $A$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$, разрезать многообразие $B$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$, а затем разрезанные части соединить, при этом, очевидно, на гиперповерхности $\Gamma$ будут выполняться следующие соотношения:
$$
g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) 
\frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i} 
\frac{\partial x^{\nu}_{A}}{\partial z^j}
= g^{B}_{\alpha \beta}(x_B(\tilde{z}(z)))
\frac{\partial x^{\alpha}_{B}}{\partial \tilde{z}^k } 
\frac{\partial x^{\beta}_{B}}{\partial \tilde{z}^l }
\frac{\partial \tilde{z}^{k}}{\partial z^i} 
\frac{\partial \tilde{z}^{l}}{\partial z^j}
$$ Эти соотношения являются уравнениями сшивки многообразий $A$ и $B$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение02.02.2017, 21:40 
Аватара пользователя


16/09/15
267
SergeyGubanov Да, вы правы, это достаточное условие для "сшивки" геометрии и вовсе не обязательно $g_{ik}$ будут одного вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 12:19 


02/11/08
118
Рисунок - разрез шара с отверстием:

Изображение

1. Если отношение $d/D=0$, то получается сплошной шар $A$.

2. Если отношение $0<d/D<1$, то получается шар c отверстием $B$.

3. Если отношение $d/D=1$, то шар исчезает и остается только пустое пространство.

Нас интересует поле на оси отверстия.

$ds^{2}=e^{\nu }c^{2}dt^{2}-e^{\mu}(dR^{2}+R^2d\theta ^2+R^2\sin^{2}\theta d\varphi ^2  ),\;\;\nu = \nu(R), \; \;\mu =\mu(R)\;\;(5)$

Расположим на оси отверстия некоторое количество наблюдателей с часами и линейками. Производя измерения, мы сможем построить соответствующие графики $g_{ij}=g_{ij} (R)$.

Значит, мы сможем построить графики функций $\nu = \nu(R)$ и $ \mu =\mu(R)$.

Выбирая различную величину отношения $d/D$, и произведя измерения, мы будем иметь в наличии набор функций $\nu_k = \nu_k(R)$ и $ \mu_k =\mu_k(R)$ соответствующим образом отражающих различные физические ситуации.

Сплошному шару пусть соответствуют функции $\nu^{A} = \nu^{A}(R)$ и $ \mu^{A} =\mu^{A}(R)$.

Т.о., смысл, который я хотел вложить в утверждение $(2)$, практически заключается в том, что при $d=0$ шар $B$ превращается в шар $A$, а значит выполняется $g_{ij}^{B}=g_{ij} ^{A}$ и $G_{ij}^{B}=G_{ij} ^{A}$.

По результатам измерений можно составить две вспомогательные функции

$f_{\nu}(R,d)= \nu^{A}(R)-\nu(R,d),\;\;f_{\mu}(R,d)= \mu^{A}(R)-\mu(R,d)$

Можно построить графики поверхностей, отвечающие различным $R$ и $d$. Но ясно по построению, что из $d=0$, следует $f_{\nu}(R,d)=0$ и $f_{\mu}(R,d)=0$.

Т.о. я говорил о нехитром факте: при стремлении распределения материи к эталонному (за эталон считаем сплошной шар $A$) результаты измерений будут стремиться все более точно совпасть с эталонными результатами.

AnatolyBa в сообщении #1188275 писал(а):
А почему у вас то $g$ то $G$?

Зная например $g_{11}(R)$ а значит и $\mu(R) $ , можно вычислить например $G_{00}(R)$.

----------------------------

Предлагаю пока забыть о "парадоксе" и начать с чистого листа. Например решить такую задачу - найти $ \mu^{B} =\mu^{B}(R)$ на оси отверстия шара $B$, при заданном отношении $d/D$ и слабом поле, положив для удобства $T_{00}=\operatorname{const}$. Координаты изотропные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 13:43 
Аватара пользователя


14/11/12
1078
Россия, Нижний Новгород
Z.S., метрика должна быть не сферически симметричная, а осе симметричная.

Erleker, как подсказывает Geen, ещё есть случай когда материя расположена на самой поверхности (массивная бесконечно тонкая поверхность). Я не знаю надо ли (и если надо то как именно) модифицировать вешенаписанную мной формулу "сшивки". Если кто-то знает, то пусть напишет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 14:31 
Заслуженный участник


25/02/11
1457
Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4196
А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group