2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Треугольники равной площади
Сообщение29.01.2017, 13:15 


21/11/12
375
1. Можно ли из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади? Длины, естественно, могут повторяться.
2. Если все девять длин попарно различны, найдется ли тройка меньшей площади в сравнении с данной: $(5,21,22);(7,15,16); (10,11,17)$?

Все длины целые, площади положительные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение29.01.2017, 23:30 
Аватара пользователя


29/01/17
169
1) Три треугольника со сторонами:
25, 27, 47
21, 25, 31
21, 27,27

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 00:09 


21/11/12
375
kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 08:34 
Аватара пользователя


29/01/17
169
Я искал экзотический случай, когда один из треугольников равнобедренный.
Ваша схема более плодовитая. Нашел два разных варианта длин, но дающих одинаковую площадь:
1) (9,17,22),(9,17,16),(9,22,29); 2) (13,11,16),(13,11,18),(13,16,27)
Ну и несколько других вариантов с разными площадями в каждом:
(13,14,21),(13,14,17),(13,21,32)
(16,11,15),(16,11,23),(16,15,29)
(16,17,27),(16,17,19),(16,27,41)
(16,18,22),(16,18,26),(16,22,34)
(19,13,22),(19,13,24),(19,22,39)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 13:57 


21/11/12
375
kalin в сообщении #1188489 писал(а):
Ну и несколько других вариантов...

Остается вопрос о младшей тройке. Первый пункт сводится к частному случаю, что видно из Ваших примеров ++

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:08 
Аватара пользователя


29/01/17
169
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша. А вообще-то решений бесконечно много. Я еще 12 вариантов нашел (по вашей модели), но не имеет смысла их давать. Никакой зависимости пока не увидел...
Да, и предпоследний мой вариант не примитивный: он есть удвоенный ваш вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:43 


21/11/12
375
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
А вообще-то решений бесконечно много.

Это правда.
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3555
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.
Ещё интереснее минимизировать площадь. Хотя бы потому, что перебором это не так просто проверить :D
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
А вообще-то решений бесконечно много.
Примитивных тоже? Это не выглядит противоестественным, но услышать Ваши аргументы было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 15:40 


21/11/12
375
grizzly в сообщении #1188574 писал(а):
Ещё интереснее минимизировать площадь.

Верное уточнение. Изначально речь и шла о тройках наименьшей площади.
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Публично заявляю, что существует меньшая. Сразу не выставляю, а то не интересно.

(Оффтоп)

И мало ли кто-то захочет реабилитироваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 15:51 
Аватара пользователя


29/01/17
169
Аргументы банальные. Примерно как: предположим, что постых чисел-близнецов бесконечно. Я тоже предположил, и никакими расчетами не обнаружил конца множества. Строго же доказать вряд ли смогу.

-- 30.01.2017, 15:59 --

Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:18 


01/12/11
974
Andrey A в сообщении #1188435 писал(а):
kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:31 


05/09/16
1064
Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):
Может быть я ошибаюсь,

Да, ошибаетесь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3555
Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):
Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.
А то, что $11\cdot 11=121$ (площадь квадрата с максимальной стороной первого треугольника) меньше Вашего $425.3$, Вас не смущает? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 18:19 


21/11/12
375
kalin в сообщении #1188605 писал(а):
Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

Существование меньшего решения еще не свидетельствует о его чемпионстве, вопрос ставился именно так. Вместо "младшей" читайте "меньшей", но не "наименьшей".

Skeptic, смотрите "Формула Герона". Тут речь с самого начала об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 18:50 
Аватара пользователя


29/01/17
169
Доказательство того, что площади равные
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group