2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение24.02.2017, 09:36 


21/11/12
355
Пары пифагоровых треугольников равной площади с катетами $a,b;\ a',b'$ и гипотенузами $c,c'$ порождают тройки $(2a,c,c) (2b,c,c) (2a',c',c')$, а таких уже ясно что бесконечно много. Хотя, третий у Вас не равнобедренный. Такие тоже могут быть с целой площадью, надо спросить у Герона. На первое место вопрос поставлен от удивления, что неравные треугольники равной площади могут иметь еще и две общие стороны. Еще больше удивило, что для треугольников равной площади $(a,b,c)(a',b',c')$ может выполняться $a>a',b>b', c>c'$, например $(5,18,22)(4,15,16)$.
Серпинский (по Вашей ссылке) посвящает главу доказательству того факта, что для любого натурального $n$ найдутся $n$ пифагоровых треугольников равной площади. Сильное утверждение и красивое доказательство. Оно касается и троек равноудаленных квадратов. Наименьшая пара такая: $$1,29,41$$$$23,37,47$$ Тройка: $$2,58,82$$$$46,74,94$$$$97,113,127$$ Наименьшая четверка приведена выше, и этот список может быть продолжен до бесконечности, что следует из доказательства Серпинского. Четверки равноудаленных квадратов, похоже, бывают только такие: $a^2,a^2,a^2,a^2$. Буду рад, если ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение24.02.2017, 22:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Параметрическое решение для получения трех треугольников с 5 целыми длинами сторон и целой одинаковой площадью.
1. $(2k(k+2)(k^2-2k-2), 2k^2+4k+2+k^4, 2k^2+4k+2+k^4)$,
2. $(4(k^2-1)(2k+1), 2k^2+4k+2+k^4, 2k^2+4k+2+k^4)$,
3. $(2k(k+2)(k^2-2k-2), (k-1)(2k+1)(k^2+2k+2), (k+1)(5k^2+2k+2))$
Натуральные $k>2$

(Оффтоп)

(поправил опечатки: $k^2-2k-2$ вместо $k^2-k-2$ и натуральные $k$ вместо целых).

Два первых треугольника равнобедренные, третий - нет.
Площадь каждого треугольника равна $2k(k+2)(2k+1)(k^2-1)(k^2-2k-2)$.
Из наличия этого параметрического решения следует и бесконечность числа троек.
Andrey A, по поводу равноудаленных квадратов Вы не ошибаетесь - четыре квадрата различных целых чисел не могут образовывать арифметическую прогрессию (П.Ферма).

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение27.02.2017, 23:51 


21/11/12
355
Всё, первый вопрос считаем закрытым. Спасибо. От второго голова болит, сил нет. Остаётся на будущее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение05.03.2017, 14:57 


21/11/12
355
Задача нахождения пар равнобедренных треугольников целой площади выводит немножко из замкнутого круга, если ее решать способом, заявленным в начале. Западня имеется конечно, но выглядит иначе:
$$\left\{\begin{matrix}
 xy&=p^4 \\ 
 (x+z^2)(y+t^2)&=q^4 
\end{matrix}\right.$$ Подробности до востребования, если есть надежда на разрешимость такой системы при вз. простых $(p,q)$. Там восемь переменных, и без повода нет смысла огород городить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение07.03.2017, 12:35 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Два параметрических решения получены после сведения предложенной системы уравнений
к уравнению эллиптической кривой $w^2=u^3+\left(\dfrac{p^2}{q^2}+\dfrac{q^2}{p^2}\right)u^2+u$
и вычислению на ней рациональной точки бесконечного порядка.
Код:
p = 2*m+1,
q = m^2-1,
x = -(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)*m*(2*m+1)/t^2,
y = -t^2*(8*m^3+12*m^2+6*m+1)/(m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)),
z = -m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)/(t*(m^2+m+1))
t=t

p = 2*m+1,
q = m^2-1,
x = -(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)*m*(8*m^3+12*m^2+6*m+1)/((m^4+2*m^3+3*m^2+2*m+1)*t^2),
y = -t^2*(1+4*m+7*m^2+8*m^3+5*m^4+2*m^5)/(m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)),
z = -m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)/(t*(m^2+m+1)),
t=t

Таких параметрических решений бесконечное число (рациональная точка бесконечного порядка) и, может быть, какие-то из них
подходят к замыслу ТС, но они невероятно громоздки и чем дальше, тем больше. Делайте выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение07.03.2017, 17:00 


21/11/12
355
scwec, спасибо. На сколько я понял, ситуация не равнозначная в сравнении со стандартным подходом. Я тогда выложу к вечеру результаты по возможности кратко, мало ли пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение08.03.2017, 05:34 


21/11/12
355
Общее пропорциональное решение для двух равнобедренных треугольников равной площади с основаниями $U,u$ и сторонами $V,v$ есть функция от восьми (не совсем свободных) переменных $A,B,C,D,a,b,c,d$ таких, что дроби $\dfrac{ABCD}{abcd}$ и $\dfrac{Abd}{aBD}$ несократимы. Для них определены $$\begin{matrix}
X=bB^2CD\left((acD)^2-(ACd)^2\right) & Y_1=2abc^2\left(Acb^2d^3-aCB^2D^3\right) & Y_2=2Abd^2\left(ADB^2C^3-adb^2c^3\right)\\ 
x=Bb^2cd\left((acD)^2-(ACd)^2\right) & y_1=2ABC^2\left(Acb^2 d^3-aCB^2D^3\right) & y_2=2aBD^2\left(ADB^2C^3-adb^2c^3\right)
\end{matrix}$$ Тогда $$\begin{matrix} U=\left|2X \right| & V=\left|X \right|+\left|Y \right|\\ u=\left|2x \right| & v=\left|x\right|+\left|y\right|, \end{matrix}$$ причем игреки различных индексов должны быть противоположных знаков, и выбирается из них меньший по модулю. Подобные оговорки хороши для кулинарных рецептов, но их не избежать: математически треугольники с отрицательной площадью ничем не хуже остальных. Площадь $$s=\left| 2B^2CDb^2cd\left((acD)^2-(ACd)^2\right)\sqrt{Aa(Acb^2d^3-aCB^2D^3)(adb^2c^3-ADB^2C^3)}\right|$$ Чтобы $s$ оказалось целым числом, под радикалом должен быть целый квадрат, и тут тонкий момент: переменные $A,a$ вз. простые, значит скобочки под радикалом должны быть вида $Ap^2,\ aq^2$, но слагаемые внутри скобок кратны этим переменным и, значит, не могут быть вз. просты между собой. Из условия видим, что $A$ может делить только $C$ и $a\mid c$. Делая замены $C\rightarrow AC',\ c\rightarrow ac'$, получаем $$s=\left|2A^2B^2C'Da^2b^2c'd\left((c'D)^2a^4-(C'd)^2A^4\right)\sqrt{(c'b^2d^3-C'B^2D^3)(db^2c'^3a^4-DB^2C'^3A^4)} \right|$$ Произведения левых и правых слагаемых в новых скобках равны попарно $(abc'd)^4$ и $(ABC'D)^4$, являя собой общее решение уравнения $xy=p^4$. Приравнивая скобочки к целым квадратам, получаем вышеприведенную систему. Я ее повторно не выписываю чтобы не вносить путаницу, просто букв уже не хватает.

Исправлено 8.03

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение08.03.2017, 20:48 


21/11/12
355
P.S.
Выражения в скобках под радикалом были бы симметричны, если вместо замены $C\rightarrow AC',\ c\rightarrow ac'$ сделать такую: $A\rightarrow A'A'',\ a\rightarrow a'a'',\ C\rightarrow A'a'C',\ c\rightarrow A''a''c'$. Тогда в основаниях четвертых степеней было бы по пять переменных $(A''a''bc'd)^4\ (A'a'BC'D)^4$. Но по условию пары $(C,a)$, $(c,A)$ взаимно просты, и такая замена избыточна. Впрочем, лишнюю четвертую степень всегда можно спрятать в квадрат, и появляются варианты.

Исправлено 23:40

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение10.03.2017, 14:06 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Приведу параметрическое решение для пар пифагоровых треугольников со сторонами $a,b,c, a^2+b^2=c^2$ и $A,B,C, A^2+B^2=C^2$ таких, что отношение их площадей - любое заданное рациональное $K>0$.
$a=|2n^2{(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)}|$;
$b=|3Kn^2{m^4}{(Km^4-2n^4)}|$;
$c=|{n^2}(5K^2{m^8}-2Km^4{n^4}+2n^8)|$
Площадь треугольника $s=|3Km^4{n^4}(Km^4-2n^4)(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)|$

$A=|{2m^2}(Km^4+n^4)(Km^4-2n^4)|$;
$B=3m^2{n^4}(2Km^4-n^4)|$;
$C=|m^2(2K^2{m^8}-2Km^4{n^4}+5n^8)|$
Площадь треугольника $S=|3m^4{n^4}(Km^4-2n^4)(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)|$
и $s/S=K$. При $K=1$ получаются треугольники с одинаковой площадью.
Таким образом, меняя $m,n$ легко получить неограниченное число пар треугольников с указанным свойством.
Заодно доказано, что для любого рационального положительного $K$ найдется бесконечно много пифагоровых треугольников, у которых отношение площадей равно $K$.
Теперь, как это получается.
Рассматриваем уравнение $nx(x^2-n^2)=Kmy(y^2-m^2)\qquad(1)$
Заменой переменных
$x=\dfrac{Km^3{wu}-Kmwn^6}{K^4m^{10}{n^2}+{n^{10}}K^2{m^2}-3K^2{m^4}{n^4}u+u^3}\qquad(2)$
$y=\dfrac{-nwK^2{m^6}+n^3{wu}}{K^4m^{10}{n^2}+n^{10}{K^2}{m^2}-3K^2{m^4}{n^4}u+u^3}\qquad(3)$
(для их получения можно использовать Maple) уравнение $(1)$ приводится к виду
$w^2=u^3-3m^4{n^4}{K^2}u+n^{10}K^2{m^2}+K^4{m^{10}}n^2\qquad(4)$
Легко увидеть рациональное решение $u=2Km^2{n^2}, w=Kmn(Km^4+n^4)$.
Подставляя $u,w$ в $(2),(3)$ находим $x,y$, а затем по известным формулам для сторон пифагорова треугольника
$a=|2xn|,b=|x^2-n^2|,c=x^2+n^2,A=|2ym|,B=|y^2-m^2|,C=y^2+m^2$ получаем приведенные выше параметрические решения.
Таких параметрических решений существует бесконечное количество (по крайней мере для целых $K,m,n$) поскольку
точка $P=(2Km^2{n^2},Kmn(Km^4+n^4))$ на $(4)$ имеет бесконечный порядок по теореме Лутц-Нагель из-за не целых координат точки $2P$ (координаты не привожу из-за их громоздкости).
Таким образом, точки $2P,3P, 4P,...$ порождают бесконечное число параметрических решений кроме тех,
которые здесь уже приведены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group