2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 20:46 


21/11/12
355
Andrey A в сообщении #1189236 писал(а):
Уравнение $xy(x^2-y^2)=zt(z^2-t^2)$ вроде бы рассматривалось, спросите Гугл.

Речь о парах пифагоровых треугольников равных площадей, подразумевается $\gcd x,y,z,t=1$, хотя сами тройки не обязательно примитивные. Может я плохо смотрел, но Гугл молчит на сей счет. Если четверка $x_0,y_0,z_0,t_0$ - решение, то $x_0+y_0,x_0-y_0,z_0+t_0,z_0-t_0$ - тоже решение, и обратно. Своего рода близнецы. В первой сотне их не менше ста $(x,y,z,t<100)$, и подобрать их легче, поскольку функция от двух переменных, но о решении как таковом даже упоминаний не встретил. Единственное что удалось: $$x_1=q(p^4+4q^4)\ y_1=2q(p^4-2q^4)\ z_1=6pq^4\ t_1=p(p^4-2q^4)$$$$x_2=3qp^4\ y_2=q(p^4-8q^4 )\ z_2=p(p^4+4q^4 )\ t_2=p(p^4-8q^4 )$$
Пары $p,q$ вз. простые. Решение не полное, в детали не вдаюсь :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 21:01 
Аватара пользователя


29/01/17
100
Andrey A, хотя бы один пример треугольников можно выудить из этих формул?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 21:47 


21/11/12
355
Берите по абсолютной величине. $p=1,q=1:\ x_1=5,y_1=2,z_1=6,t_1=1$ Евклидовы тройки помните?
$5^2-2^2=21,2\cdot 5\cdot 2=20,5^2+2^2=29$
$6^2-1^2=35,2\cdot 6\cdot 1=12,6^2+1^2=37$
Прямоугольные треугольники со сторонами $(21,20,29)\ (35,12,37)$ имеют площадь $s=20\cdot 21/2=35\cdot 12/2=210$. Кстати, это наименьшая пара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 11:43 
Аватара пользователя


29/01/17
100
Andrey A, понятно стало. очень понравилось. Правда, числа уж будут громадные у других вариантах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 13:46 


21/11/12
355
kalin в сообщении #1193134 писал(а):
... числа уж будут громадные

Бывает, что большие числа оказываются кратны и сваливаются в маленькое решение. Во всяком случае это не доказательство неполноты. Но, выбирая произвольные $p,q$, получаем четверку $x,y,z,t$ такую, что $\frac{z-t}{x-y}=\frac{p}{q}$. Если бы решение было общим, то взаимозамена $p\leftrightarrow q$ в силу симметрии самого уравнения имела бы следствием зеркальный результат, чего не происходит. Значит могут быть другие решения, и это прблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 13:52 
Аватара пользователя


29/01/17
100
Andrey A, согласен. Очень похоже на задачу о четырех кубах. Там тоже нашлось много неполных решений, но обнаружились и полные. Первое полное дал, по-моему. Харди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 12:37 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Andrey A в сообщении #1189337 писал(а):
Если есть ссылки о нахождении подобных пар (а не троек), буду признателен.

Информация о пифагоровых треугольниках с одинаковой площадью содержится, например, в небольшом разделе во 2 томе у Диксона в "Истории теории чисел" (по состоянию на начало 20 века), на середину 20 века у Серпинского в "Пифагоровых треугольниках" (тоже есть раздел), по состоянию на начало 21 века есть совсем небольшой раздел у Гая с именами и результатами, представляющими интерес, в "Нерешенных проблемах теории чисел".

Для нахождения пар пифагоровых треугольников с одинаковой площадью можно рассматривать кроме указанного также и уравнения
$x^4-y^4=r^4-s^4$,
$xy(x^2+y^2)=rs(r^2+s^2)$,
$x^4\pm{6}{x^2}{y^2}+y^4=r^4\pm{6}{r^2}{s^2}+s^4$,
$x^4+4y^4=r^4+4s^4$,
поскольку в правых и левых частях стоят выражения, дающие конгруэнтные числа.
Можно, наконец, допустить, и одинаковые выражения для генераторов в исходном уравнении.
Это допущение дает, к примеру, следующие параметризации для сторон пифагоровых треугольников $(a,b,c, a^2+b^2=c^2)$ и $(A,B,C, A^2+B^2=C^2)$
$A=|2+6t+6t^2+4t^3|, B=|-2t-t^2+2t^3+t^4|, C=|2+6t+7t^2+2t^3+t^4|$
$a=|-2-2t+2t^3+2t^4|, b=|2t+5t^2+2t^3|, c=|2+2t+t^2+2t^3+2t^4|$
$t\ne{-2},-1,-1/2,0,1,2$
При этом площади треугольников одинаковы $S=t(t^2-1)(t+2)(2t+1)(t^2+t+1)$
Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна
(тут мы имеем дело с бесконечным семейством эллиптических кривых), то любое частное параметрическое решение,
видимо, представляет интерес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 14:10 
Аватара пользователя


29/01/17
100
Класс! t=3 ;
A=182; B=120; C=218; S=10920
a=208; b=105; c=233; S=10920

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 16:57 


21/11/12
355
scwec, спасибо! Буду разбираться, но кое-что по горячим следам.

Систему можно записать так: $\begin{cases}
(xz)^2+(yt)^2=p^2  \\  (xt)^2+(yz)^2=q^2 \end{cases}\ $ откуда $\begin{cases}
 p^2+q^2=(x^2+y^2)(z^2+t^2)  \\  p^2-q^2=(x^2-y^2)(z^2-t^2) \end{cases}$ и $$p^4-q^4=(x^4-y^4 )(z^4-t^4)$$ Такое уравнение интересно само по себе и для кубов, о нем может быть больше сведений (на счет $>4$ что-то не понимаю). Исходное - частный случай. Обозначим площадь треугольников $s=xyzt/2.$ Тогда

$p^2+4s=(xz+yt)^2$
$p^2-4s=(xz-yt)^2$
$q^2+4s=(xt+yz)^2$
$q^2-4s=(xt-yz)^2\ $ $$4s=(xz+yt)^2-p^2=p^2-(xz-yt)^2=(xt+yz)^2-q^2=q^2-(xt-yz)^2$$
Имеем тройки квадратов, равноудаленных друг от друга на числовой оси. Каждая такая тройка действительно описывается через евклидовы тройки, у Серпинского это называется "согласные числа" стр. 44. В предыдущей главе он рассматривает то же уравнение в рациональных числах (к вопросу конгруэнтных), и оказывается, если есть одно решение, то их бесконечно много. Нас же интересуют пары таких троек, чего он только касается и дает пример, но дальше не идет. А их может быть и больше: $$1838, 1418, 802$$$$2722, 2458, 2162$$$$3191, 2969, 2729$$$$6271, 6161, 6049$$
scwec в сообщении #1193327 писал(а):
Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна...

Означает ли это, что общего решения не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 18:59 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Andrey A в сообщении #1193406 писал(а):
Означает ли это, что общего решения не существует?

Имеется в виду, что все рациональные точки на эллиптической кривой не могут быть выражены через рациональные функции от некоторых параметров.
Т.о. в данном случае общего параметрического решения с использованием только рациональных функций нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 19:30 


21/11/12
355
То есть, если я правильно понял, нет полного решения на языке теории эллиптических кривых. Если же его нет вообще, то решение для любых треугольников с положительной площадью тоже не может быть полным, ведь оно в некотором смысле просто более общий случай. Или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 21:32 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
1.Эллиптические кривые параметризуются с помощью функции Вейерштрасса.
2.Рациональными функциями они не параметризуются.
3.Исходное уравнение сводится к семейству уравнений для эллиптических кривых $w^2=u^3-S^2{u}$,
где $S$ площадь треугольника ($S$ пробегает все конгруэнтные числа).
4.Нет общего решения этого уравнения в рациональных числах $u,w$, выраженного через рациональные функции от некоторых параметров.
5. В целых числах наличие общего решения исходного уравнения с использованием только рациональных функций крайне маловероятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 21:53 


21/11/12
355
Понял, спасибо. Учиться, учиться и учиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение20.02.2017, 15:02 


21/11/12
355
scwec, удивительно! Как эту штуку ни объезжай, к ней же в итоге всегда и вернёшься. Коровье вязло. При том что похожее уравнение $xy(x+y)=xt(z+t)$ решается отлично по аналогии с первоначальной задачей: $$x=A(Bc-bC);\ y=B(Ca-cA)$$ $$z=a(Bc-bC);\ t=b(Ca-cA),$$ где попарно вз. простые $ABC=abc$ взяты за аргумент. Более того, если рациональное $\alpha $ выразить дробью $\dfrac{ABC}{abc}$, получаем по тем же формулам $\dfrac{xy(x+y)}{xt(z+t)}=\alpha $. И задача kalinа решается по заданной пропорции, правда не полностью. Это я уже пузыри пускаю, выкидываю наводящие мысли как спасательные круги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение23.02.2017, 22:32 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
К первоначальной задаче о трех треугольниках и пяти длинах.
Можно доказать, что даже если потребовать чтобы площади всех треугольников были целыми числами, то таких троек существует бесконечно много.
Привожу пример
$(480,289,289), (322,289,289), (322,348,250)$. Площадь каждого треугольника $38640$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group