2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение31.01.2017, 09:05 


01/12/11
952
Спасибо, нашёл ошибку: не промахнулся на клаве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение31.01.2017, 14:44 


21/11/12
356
Andrey A в сообщении #1188602 писал(а):
... заявляю, что существует меньшая.

Да там их целая семья. По старшинству:

    $(5,21,22)(7,15,16)(10,11,17)$
    $(3,34,35)(5,23,26)(7,14,15)$
    $(4,28,31)(6,13,14)(7,12,16)$
    $(4,17,18)(7,16,22)(8,9,14)$
    $(4,15,16)(5,18,22)(6,10,11)$
    $(3,19,20)(4,15,17)(5,11,12)$
    $(2,11,12)\ (3,8,10)(4,5,6)$

Равнобедренные не рассматриваем, значит единица исключена. В последней тройке стало быть всего две прорехи: $7$ и $9$, но кто знает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение01.02.2017, 14:09 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Первую задачу лучше бы так сформулировать:
Из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади, причем один из них - равнобедренный. Длины, естественно, могут повторяться.
Сколько ни искал, оказался только один мой вариант, что привел в первом своем ответе:
(25,27,47)(21,25,31)(21,27,27)
Если кто найдет еще подобные варианты - буду рад.
Если задача имеет единственное решение, то она действительно достойна быть олимипиадной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение01.02.2017, 15:12 


21/11/12
356
$(2,19,19)(7,7,6)(7,6,11)(3,13,14)$
Первые три подходят из четверки. Жаль что недостойна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение01.02.2017, 18:44 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Andrey A

Мне очень понравился ваш вариант (2,19,19)(6,7,7)(6,7,11) в котором уже 2 равнобедренных треугольника. Других вариантов c двумя равнобедренными не нашел. Тут маленькая площадь - всего $6\sqrt{10}\approx 18.97...$
Может, есть решение и для трех равнобедренных тр-ов? Все сказанное мной сейчас относится к задаче 1) первого вашего писания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение01.02.2017, 22:08 


21/11/12
356
kalin в сообщении #1189131 писал(а):
Может, есть решение и для трех равнобедренных тр-ов?

Может и есть. Но, кажется, это отдельная задача.

P.S. $(54,37,37)(36,42,42)(12,114,114)$ Из предыдущей приготовлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 05:06 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Значит, получается, что три равнобедренных можно обеспечить только шестью длинами. Хорошо, а решение единственное?
На мой взгляд, задача с равнобедренными вырисовывается красиво. Если бы удалось 37 и 36 сблизить!

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 09:37 


21/11/12
356
Если бы удалось 37 и 36 сблизить, потом все учебники пришлось бы переписывать. Даже по домоводству.

kalin в сообщении #1189221 писал(а):
... единственное?

Не знаю. kalin, это отдельная задача. Частный случай - тройка прямоугольных треугольников. Уравнение $xy(x^2-y^2)=zt(z^2-t^2)$ вроде бы рассматривалось, спросите Гугл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 10:48 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Но тут же 4 параметра, а не 5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 11:54 


21/11/12
356

(Оффтоп)

Тут два треугольника для примера. Приставляя зеркало к разным катетам, получаем четверку равнобедренных. Запишите нужное Вам уравнение и попробуйте решить. Танцы на грани оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 13:54 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Список известных решений для пифагоровых треугольников. $S$ - площадь треугольника, $a,b$ - катеты, $c$ - гипотенуза.
$S = 13123110, a = 5852, b = 4485, c = 7373$
$S = 13123110, a = 8580, b = 3059, c = 9109$
$S = 13123110, a = 1380, b = 19019, c = 19069$

$S = 2570042985510, a = 2798180, b = 1836939, c = 3347261$
$S = 2570042985510, a = 7275268, b = 706515, c = 7309493$
$S = 2570042985510, a = 749892, b = 6854435, c = 6895333$

$S = 2203385574390, a = 1082620, b = 4070469, c = 4211981$
$S = 2203385574390, a = 403332, b = 10925915, c = 10933357$
$S = 2203385574390, a = 376420, b = 11707059, c = 11713109$

$S = 8943387723270, a = 5132732, b = 3484845, c = 6203957$
$S = 8943387723270, a = 9922660, b = 1802619, c = 10085069$
$S = 8943387723270, a = 1411740, b = 12670021, c = 12748429$

$S = 826290896699730, a = 35683340, b = 46312419, c = 58464869$
$S = 826290896699730, a = 20368788, b = 81133045, c = 83650813$
$S = 826290896699730, a = 15254508, b = 108333995, c = 109402717$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 16:04 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Зато тут 9 длин

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 17:48 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8663
 !  kalin, замечание за оффтопик. Хотите обсуждать свою задачу - создайте отдельную тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 18:42 
Аватара пользователя


29/01/17
118
Toucan

Здесь задача: Можно ли из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади? Длины, естественно, могут повторяться.

Я ее и только ее рассматриваю. Только 5 длин и три разных, но равных по площади треугольника. Ни в одном разговоре не отошел в сторону. Отклоняются другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение02.02.2017, 20:09 


21/11/12
356
scwec, спасибо за информацию. Если есть ссылки о нахождении подобных пар (а не троек), буду признателен. Мне тут добавить нечего, кроме как выложить свое решение. Варианты приветствуются.

Если одно из одночетных $X+Y+Z+T=0$ отличается знаком от остальных, то длины сторон произвольного треугольника с положительной площадью $S>0$ выражаются тройкой $\left| \dfrac{X+Y}{2}\right|; \left| \dfrac{Y+Z}{2}\right|; \left| \dfrac{Z+X}{2}\right|, $ а $S=\dfrac{1}{4}\sqrt{-XYZT}$. Задача нахождения троек равной площади сводится к системе $$\begin{cases}
 & X_1+Y_1+Z_1+T_1=0  \\ 
 & X_2+Y_2+Z_2+T_2=0  \\ 
 & X_3+Y_3+Z_3+T_3=0  \\ 
 & X_1Y_1Z_1T_1=X_2Y_2Z_2T_2=X_3Y_3Z_3T_3
\end{cases}$$ Пусть ${\tiny\gcd \left(X_1,X_2,X_3 \right)=x;\ \gcd \left(Y_1,Y_2,Y_3 \right)=y;\ \gcd \left(Z_1,Z_2,Z_3 \right)=z;\ \gcd \left(T_1,T_2,T_3 \right)=t},$ и однозначно определены целые ненулевые $a_i,b_i,c_i,d_i$ такие, что $X_i=a_ix,\ Y_i=b_iy,\ Z_i=c_iz,\ T_i=d_it,$ причем $\gcd \left(a_1,a_2,a_3 \right)=\gcd \left(b_1,b_2,b_3 \right)=\gcd \left(c_1,c_2,c_3 \right)=\gcd \left(d_1,d_2,d_3 \right)=1.$ Тогда $$\dfrac{X_1Y_1Z_1T_1}{X_2Y_2Z_2T_2}=1=\dfrac{a_1xb_1yc_1zd_1t}{a_2xb_2yc_2zd_2t}=\dfrac{a_1b_1c_1d_1}{a_2b_2c_2d_2};\ \dfrac{X_2Y_2Z_2T_2}{X_3Y_3Z_3T_3}=1=\dfrac{a_2xb_2yc_2zd_2t}{a_3xb_3yc_3zd_3t}=\dfrac{a_2b_2c_2d_2}{a_3b_3c_3d_3}$$ То есть $a_1b_1c_1d_1=a_2b_2c_2d_2=a_3b_3c_3d_3.$ Такие наборы значений легко генерируются как человеком так и машиной, будем брать их в качестве аргумента, а также до времени переменную $t$. Получаем линейную систему уравнений $$\begin{cases}
 & a_1x+b_1y+c_1z=-d_1t  \\ 
 &  a_2x+b_2y+c_2z=-d_2t  \\ 
 &  a_3x+b_3y+c_3z=-d_3t  
\end{cases}$$ и рациональные решения $x=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix}
d_1 & b_1 &c_1 \\ 
d_2 & b_2 &c_2 \\ 
d_3 & b_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)},\ y=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & d_1 &c_1 \\ 
a_2 & d_2 &c_2 \\ 
a_3 & d_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)},\ z=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & b_1 &d_1 \\ 
a_2 & b_2 &d_2 \\ 
a_3 & b_3 &d_3
\end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)}.$ Делая подстановку $t=-\bigl(\begin{smallmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{smallmatrix}\bigr)$, не теряя общности, получаем целые пропорциональные решения первоначальной системы:
$$X_1=a_1\begin{pmatrix}
d_1 & b_1 &c_1 \\ 
d_2 & b_2 &c_2 \\ 
d_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Y_1=b_1\begin{pmatrix}
a_1 & d_1 &c_1 \\ 
a_2 & d_2 &c_2 \\ 
a_3 & d_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Z_1=c_1\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &d_1 \\ 
a_2 & b_2 &d_2 \\ 
a_3 & b_3 &d_3
\end{pmatrix};\ T_1=-d_1\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix}$$$$X_2=a_2\begin{pmatrix}
d_1 & b_1 &c_1 \\ 
d_2 & b_2 &c_2 \\ 
d_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Y_2=b_2\begin{pmatrix}
a_1 & d_1 &c_1 \\ 
a_2 & d_2 &c_2 \\ 
a_3 & d_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Z_2=c_2\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &d_1 \\ 
a_2 & b_2 &d_2 \\ 
a_3 & b_3 &d_3
\end{pmatrix};\ T_2=-d_2\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix}$$$$X_3=a_3\begin{pmatrix}
d_1 & b_1 &c_1 \\ 
d_2 & b_2 &c_2 \\ 
d_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Y_3=b_3\begin{pmatrix}
a_1 & d_1 &c_1 \\ 
a_2 & d_2 &c_2 \\ 
a_3 & d_3 &c_3
\end{pmatrix};\ Z_3=c_3\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &d_1 \\ 
a_2 & b_2 &d_2 \\ 
a_3 & b_3 &d_3
\end{pmatrix};\ T_3=-d_3\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 &c_1 \\ 
a_2 & b_2 &c_2 \\ 
a_3 & b_3 &c_3
\end{pmatrix},$$ где (еще раз) целые ненулевые аргументы $a_i,b_i,c_i,d_i$ удовлетворяют условиям $$a_1b_1c_1d_1=a_2b_2c_2d_2=a_3b_3c_3d_3,\ \gcd \left(a_1,a_2,a_3 \right)=\gcd \left(b_1,b_2,b_3 \right)=\gcd \left(c_1,c_2,c_3 \right)=\gcd \left(d_1,d_2,d_3 \right)=1.$$ Генерируя решения на практике, приходится откидывать четверки с равным количеством плюсов/минусов, о чем было сказано в начале, и сокращать на Н.О.Д. во избежание непримитивных троек.

P.S. Если полученные четверки $X_i,Y_i,Z_i,T_i$ не одночетные, ничто не мешает умножить все элементы на $2.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group