2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:10 


16/01/14
73
Здравствуйте! Прошу помочь диффеоморфно отобразить открытый единичный шар $B(0,1) \subset \mathbb R ^n$ на все $\mathbb R ^n$.

Пробовал брать такие отображения ($\|\cdot\|$ у меня евклидова норма):
$B(0,1) \ni x \mapsto x \exp(\frac{1}{1-\|x\|^2}) \in \mathbb R ^n,$
$B(0,1) \ni x \mapsto \frac{x}{1-\|x\|^2} \in \mathbb R ^n.$
Инъективность и гладкость получить легко. Но непонятно, как проверить гладкость обратного отображения. Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции, но якобиан вычисляется не очень просто. Может, есть какой-нибудь простой путь? Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны. Правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):
Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны.

Они не всегда даже гомеоморфны! Для того, чтобы различать не гомеоморфные многообразия, придуманы, например, группы гомологий и когомологий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):
Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции,

И хорошо. А в чем проблемы? В нуле - легко, поскоку отображение "почти " линейно. Вне нуля - все гладенько, а в полярной системе к-т - так вааще красиво...

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 19:04 


16/01/14
73
Получилось, спасибо! Отобразил шар на куб, а потом куб на $\mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group