2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 15:45 


23/01/17
9
Доброго времени суток

Хотелось бы разобраться в следующей теореме (учебник Кострикина, Введение в алгебру 1)

Цитата:
1) В каждом поле $P$ содержится одно и только одно простое поле $P_0$.
2) Это простое поле изоморфно либо $\mathbb{Q}$, либо $\mathbb{Z}_p$ для некоторого простого $p$.


Здесь под $\mathbb{Z}_p$ понимается кольцо класса вычетов.

Итак, я полностью разобрался с пунктом 1). 2) же добить не получилось.

В учебнике предлагается следующее доказательство.
Цитата:
1) В $P_0$ наряду с единичным элементом $1$ содержатся все его кратные $n\cdot 1 = 1 + ... + 1$.

2) Из общих свойств операций сложения и умножения элементов в кольцах следует, что $s \cdot 1 + t \cdot 1= (s + t) \cdot 1, \; (s \cdot 1 ) (t \cdot 1) = (st) \cdot 1; s, t \in \mathbb{Z}$

3) Поэтому отображение $f$ кольца $\mathbb{Z}$ в $P$, определённое правилом $f(n) = n \cdot 1$, является гомоморфизмом, ядро которого имеет вид $\operatorname{Ker} f = m\mathbb{Z}$.

4) Если $m=0$, то $f$ — мономорфизм, и дроби $\frac{(s \cdot 1)}{(t \cdot 1)}$, имеющие смысл в $P$ (поскольку $P$ — поле), образуют поле $P_0$, изоморфное $\mathbb{Q}$. Оно и будет простым подполем в $P$.

5) Если же $m > 0$, то, очевидно, отображение $f^*$, определённое по правилу $f^*: \bar{k} = \{k\}_m \mapsto f(k)$ будет изоморфным вложением $\mathbb{Z}_m \to P$.

6) Это возможно только тогда, когда $m = p$ — простое число.

7) Стало быть, $f^*(\mathbb{Z}_p)$— простое подполе в $P$.


Я, кажется, разобрался с 1), 2) - довольно очевидные.
3) $f(n + m) = (n + m) \cdot 1 = n \cdot 1 + m \cdot 1 = f(n) + f(m)$, аналогично $f(nm) = f(n) f(m)$ - с этим вроде все хорошо. У Кострикина появляется $m$ - я так понимаю, что это индекс кольца вычетов $\mathbb{Z}_m$. (до этого $m$ только для этого и использовалось)
4) Согласен, что при $m = 0 \Rightarrow \operatorname{Ker} f = 0$ и $f$ - мономорфизм. Далее появляется дробь $\frac{s \cdot 1}{t \cdot 1}$, и мне непонятно, каким образом $f$ станет изоморфизмом. Т.е. тогда должно имется в виду, что $f(n m) = \frac{f(n)}{f(m)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}$?
5) Отображение $f^*$ берет класс вычетов $\bar{k}$ и ставит ему в соответствие что? $f(k)$, где $k$ - единственный представитель $\bar{k}$ (т.е. один элемент $f(k) = k \cdot 1$? Или $f(k)$ возвращеает множество $\{l \cdot 1 | l \in \bar{k}\}$ - тотатльное непонимание.
6) Несмотря на то, что я совсем не понял пункт 5), с 6) я почему-то разобрался. Т.е. если бы $m$ было составным, то в нем были бы делители нуля, т.е. не каждый элемент был бы обратим, а изоморфизм сохраняет обратимость ($f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$).

Очень хотелось бы разобраться с этим доказательством. Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
wedneses в сообщении #1187999 писал(а):
4) Согласен, что при $m = 0 \Rightarrow \operatorname{Ker} f = 0$ и $f$ - мономорфизм. Далее появляется дробь $\frac{s \cdot 1}{t \cdot 1}$, и мне непонятно, каким образом $f$ станет изоморфизмом.

Дроби не имеют отношения к $f$. Они появляются, чтобы сказать, каким будет простое подполе.
wedneses в сообщении #1187999 писал(а):
5) Отображение $f^*$ берет класс вычетов $\bar{k}$ и ставит ему в соответствие что? $f(k)$

Да. Дело в том, что есть теорема: факторкольцо кольца по ядру гомоморфизма изоморфно образу этого кольца при действии гомоморфизма. Вот эта теорема в данном случае и используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 17:12 


23/01/17
9
Brukvalub

0) Если в $P_0$ содержатся все $\dots, -1, 0, 1, 2, \dots$, то наряду с ними содержатся и обратные $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots $
1) Если у нас $P_0$ изоморфно $\mathbb{Q}$, то должно существовать отображение $g: \mathbb{Q} \to P_0$, где $g(q_1 + q_2) = g(q_1) + g(q_2), \; g(q_1 \cdot q_2) = g(q_1) g(q_2)$ и $g$ биективно.
2) Учитывая 0), мне становится понятно, что $g$ существует, но прочитанном мной доказательстве я ничего такого не нашел. Т.е. $f$ там выполняет не совсем понятную мне задачу.
3) Можно, если не сложно, поподробнее объяснить про $f^*$? Т.е. факторкольцо кольца по ядру гомоморфизма - это объединение классов $\bar{0}, \dots, \overline{m - 1}$. Образ кольца при действии гомоморфизма - это просто $m$ чисел $0, 1, \dost, m - 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
wedneses в сообщении #1188015 писал(а):
Т.е. $f$ там выполняет не совсем понятную мне задачу.

Чтобы понять роль $f$ попробуйте придумать свое, альтернативное док-во теоремы, не опирающееся на $f$.
wedneses в сообщении #1188015 писал(а):
3) Можно, если не сложно, поподробнее объяснить про $f^*$? Т.е. факторкольцо кольца по ядру гомоморфизма - это объединение классов $\bar{0}, \dots, \overline{m - 1}$. Образ кольца при действии гомоморфизма - это просто $m$ чисел $0, 1, \dost, m - 1$?

Не уверен, что в исходном поле вообще есть числа $0, 1, \dost, m - 1$, их роль могут играть, скажем, пивные кружки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 18:56 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
wednesses,
попробуйте сделать следующее. Вернитесь на несколько страниц назад в Кострикине. Там написано, вполне ясно и с доказательством, как производить действия с "дробями" в произвольном поле. А затем, закрыв книжку, попробуйте сами доказать, что если в поле $2\cdot1\ne0$ и $3\cdot1\ne0$, то $(1\cdot1/2\cdot1)+(2\cdot1/3\cdot1)=7\cdot1/6\cdot1$
(именно доказать, а не посчитать, как в школе). Как это сделаете --- сразу поймете, почему с выражениями $p\cdot1/q\cdot1$ можно оперировать так же, как с обычными дробями (при условии, конечно, что поле --- характеристики 0, т.е. $n\cdot1\ne0$ при $n\ne0$). Это и значит, что такие элементы образуют
подполе, изоморфное $\mathbb Q$.

(Оффтоп)

А вообще, Кострикин --- отличный учебник, достаточно его просто вдумчиво и неторопливо изучать, особо во время семестра, а не впопыхах к пересдаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об изоморфности простого подполя
Сообщение28.01.2017, 19:28 


23/01/17
9
Разобрался, спасибо.

(Оффтоп)

К слову, я как раз и изучаю Кострикина, неторопливо (потому что туплю) и в во время семестра, не к пересдаче :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group