Гильберт и объём пирамиды

[alhimikoff]

Где-то читал, что одна из проблем Гильберта посвящена тому, что формулу объёма пирамиды нельзя вывести без интеграла.
По аналогии с выводом площади треугольника разрежем пирамиду на части и дополним их до параллелепипеда.
Доказано ли, что так сделать нельзя?

[Xaositect]

Да, доказано. Третья проблема Гильберта, ключевые слова "инвариант Дена".

[DeBill]

alhimikoff
Треугольник можно разрезать на части, такие, что из них можно сложить прямоугольник с основанием, равным основанию тр-ка, и в два раза меньшей высотой. Это и будет док-вом формулы для площади тр-ка, не использующее "высших сущностей" (а аппелирующее токо к аддитивности площади: равносоставленные фигуры равновелики).
Можно добавить "малую сущность": "равные фигуры равновелики" - и получим другое док-во той же формулы , с разрезанием парал-мма на два равных тр-ка.

alhimikoff в сообщении #1187879 писал(а):

разрежем пирамиду на части и дополним их до параллелепипеда.

А вот тут, без использования "высокой сущности" - принципа Кавальери (он грит: если все параллельные сечения двух фигур равновелики, то и сами фигуры равновеликиобъемны; его обоснование - это и есть использование "интеграла") ниче не выйдет.
Именно (про первый способ): если бы тетраэдр был равносоставлен с (прямоугольным) парал-дом, то он бы был и равносоставлен с кубом (это следует из равносоставленности равновеликих плоских фигур). А вот как раз неравносоставленность правильного тетраэдра и равновеликого ему куба и получена при решении проблемы Гильберта