2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 15:54 


27/01/17
35
Здравствуйте!

Не могли бы вы помочь мне разобраться в следующем очевидном факте.

Невозможно построить биективное непрерывное отображение отрезка на квадрат. Данный факт объясняется тем, что квадрат после удаления одной точки остаётся связным множеством, а отрезок нет.

Это доказывается просто по определению, взяв последовательность точек, сходящуюся к отмеченной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Никаких последовательностей брать не нужно. Рассмотрим биекцию $f: X \to Y$ и произвольное $A \subset X$. Выразите, пжалуйста $f(X \setminus A)$ через $Y$ и $f(A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:09 


27/01/17
35
Эээ.. Что-то я не очень понял..

Множества X и Y это и есть те несвязное и связное множества между которыми построена непрерывная биекция? Или это отрезок и квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Задача Anton_Peplov решается одинаково для любых $X, Y, A$ (потом мы действительно будем что-то подставлять вместо $X$ и $Y$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 19:56 


27/01/17
35
Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X\setminus A) = Y\setminus f(A)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
_Y_ в сообщении #1187816 писал(а):
Может быть, в силу биективности исходного отображения $f(X \setminus A) = Y\setminus f(A)$?
Именно. Но формулы надо оформлять. Мы, конечно, молчаливо предполагаем, что $f(X) = Y$; в противном случае надо писать $f(X \setminus A) = f(X) \setminus f(A)$.
Теперь остается вспомнить, какая есть теорема про непрерывный образ связного множества. И сложить два и два.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение27.01.2017, 20:20 


27/01/17
35
Да, безусловно, я имел ввиду $Y = f(X)$. Прошу прощения.

Вы имеете ввиду теорему, что образ связного пространства при непрерывном отображении связен? Да, действительно, всё получается. Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 04:03 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
В рассуждении некоторый пробел. Если есть отображение одного топологического пространства на другое, непрерывное и биективное, то обратное к нему не обязательно непрерывно. Но если $X$ компактно, то обратное непрерывно (и тогда исходное отображение --- гомеоморфизм).

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 11:21 


27/01/17
35
Да, спасибо.

Скажите пожалуйста, а возможно ли построить конструктивное (т.е. конкретно указать какие точки, каким соответствуют) биективное отображение отрезка на квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 12:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 13:01 


14/01/11
2916
Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$? Похоже, должна как-то применяться линейная связность, например, в $\mathbb{R}^3$ можно себе представить, скажем, два кольца, продетых друг сквозь друга, в отличие от $\mathbb{R}^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Sender в сообщении #1187971 писал(а):
Интересно, существует ли столь же простое доказательство того, что $\mathbb{R}^n$ невозможно непрерывно биективно отобразить на $\mathbb{R}^{n+1}$?
Если добавить, что и обратная функция должна быть непрерывной, то существует универсальное доказательство всех таких утверждений. В одну строку: "гомеоморфизм сохраняет размерность".

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 16:38 


27/01/17
35
DeBill в сообщении #1187959 писал(а):
_Y_
А чем Вам не нравится стандартное отображение , которое точке $0.\varepsilon_1,\varepsilon_2,....$ отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие точку $(0.\varepsilon_1,\varepsilon_3,...; 0.\varepsilon_2, \varepsilon_4, ....)$ квадрата?

(Оффтоп)

Неужели тем, что имеется неоднозначность в записи чисел в виде десятичнойдвоичной дроби? И правильно не нравится! Так что это отображение надо еще подправить, запретив, например, дроби, оканчивающиеся на одни девяткиединички . Правда, теперь потеряется сюръективность. Но и ее моно починить.... И т.д., и т.п. - вот оно и получится Ваше "конструктивное" отображение....
И со словом "констуктивное" - поосторожней. Фишка в том, что с точки зрения конструктивной математики (без кавычек!), то что мы предложили тут, отображением (конструктивным) не является, блин....


Да, именно этим оно мне и не нравится. Отображение, которое Вы предложили не биективно. Исправлять его, как Вы пишите, тоже, если честно, не очень хочется.

Скажите, а нет ли каких-нибудь "геометрических" построений оного?

Anton_Peplov в сообщении #1187963 писал(а):
Где-то здесь на форуме такую биекцию уже строили и даже построили, поищите.


Спасибо, Антон. Поищу. Но там, наверное, приведено примерно то, о чём пишет DeBill?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невозможность непрерывного биективного отображения
Сообщение28.01.2017, 16:48 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Sender
Именно так оно обычно и доказывается. Но при этом используются "высшие" аналоги понятия связности, а именно, некоторые группы гомологий. (Линейная связность пространства означает в точности, что его нулевая группа (сингулярных) гомологий --- это $\mathbb Z$ ). См. например А.Дольд, Лекции по алгебраической топологии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group