Доказать что последовательность не имеет предела

[NEvOl]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, верно ли я решаю задачку ?

Дано:
Последовательность ${x_n}$ имеет конечный предел $a$ и $a\neq 0$, последовательность ${y_n}$ не имеет ни конечного ни бесконечного предела. Доказать что $\frac{x_n}{y_n}$ не может иметь бесконечный предел.

Решение:
Т.к. ${y_n}$ не имеет конечного предела, то $\lim\limits_{n \to \infty}{y_n}\neq 0$ и
$\exists \varepsilon > 0 \forall N \in \mathbb{N}: \exists n > N |y_n| \geq \varepsilon$ или $c_1=\frac{1}{\varepsilon} \geq \frac{1}{|y_n|}$

Т.к. $\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}= a$ то $\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N |x_n-a| <\varepsilon$. Пусть $\varepsilon = 1$ найдем по нему $N_1$ такое что $\forall n > N_1 |x_n-a| < 1 \Leftrightarrow -1 < x_n-a <1 \Leftrightarrow -1+a < x_n <1+a$ положим $c_2=\max \left\{ |-1+a| ; |1+a| \right\}$ и тогда $\forall n > N_1 |x_n|<c_2$

Предположим что $\frac{x_n}{y_n} \rightarrow \infty$ т.е. $\forall E > 0 \exists N(E) \in \mathbb{N} : \forall n > N(E) \left| \frac{x_n}{y_n} \right| > E$

возьмем в качестве $E = c_1 c_2$ и найдем для него $N \in \mathbb{N}$ причем будем брать$N > N_1$ тогда $|x_n| \left| \frac{1}{y_n} \right| = \left| \frac{x_n}{y_n} \right| > E = c_1 c_2$ но с другой стороны известно что $\forall n > N_1 |x_n|<c_2$ и найдется $\tilde{n} > N_1 : c_1 \geq \frac{1}{|y_{\tilde{n}}|}$ и в итоге $c_1 c_2 > |x_n| \frac{1}{|y_{\tilde{n}}|}$ таким образом получаем противоречие и $\frac{x_n}{y_n}$ не может иметь бесконечный предел.

[Brukvalub]

Как минимум, очень "вязкое" решение. Просто предположите, что последовательность б.б., рассмотрите послед-сть обратных величин и сразу же получите противоречие.