Вероятность события для ролевика.

[ProPupil]

Моё хобби - настольные ролевые игры. В связи с этим у меня возникла такая исследовательская задача.

Раненый игрок обязан кидать двадцатигранный кубик. Успехом признаётся событие A = {на кубике выпало от 10 до 19}, провалом - событие B = {на кубике выпало от 2 до 9}. При этом событие C = {на кубике выпало 20} признаётся тройным успехом, а событие D = {на кубике выпало 1} - признаётся двойным провалом.

Необходимо найти вероятность того, что игрок получит три успеха до трёх провалов.

Если бы не было события D - я бы объединил все события и получил отрицательное геометрическое распределение, а вот как здесь считать?

[Александрович]

Вероятность подряд три успеха на вероятность подряд три провала.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1187470 писал(а):

Вероятность подряд три успеха на вероятность подряд три провала.

Насколько я понял - тут существенно количество успехов и провалов, и не обязательно подряд.
То есть УПУПУ - это "три успеха до трёх провалов". Впрочем, здесь надо уточнить у ТС.
И заодно - "1" это двойной провал, а "20" - тройной успех?

-- 26 янв 2017, 09:25 --

В общем, я не вижу более короткого, "царского", пути, чем выписать возможные исходы, дающие нужное состояние (хотя можно заметить, что последним должен быть либо простой, либо тройной успех, и считать вероятности для разных сочетаний не более двух, а для случая последнего простого успеха - ровно двух успехов и не более двух провалов, в смысле либо двух простых, либо одного двойного, но мне кажется, это будет не проще). Потом для них считаются вероятности.
Если обозначить * тройной успех, + простой успех, - простой провал, = двойной провал, то к интересующему состоянию приводят:
*
(один бросок)
-*
+*
(два броска)
--*
++*
-+*
+-*
(три броска)
++-*
+-+*
-++*
-+-*
--+*
(четыре броска)
++--*
+-+-*
+--+*
-++-*
-+-+*
--++*
(пять бросков)
=*
+=*
=+*
++=*
+=+*
=++*
(комбинации с двойным провалом)
(кажется, все варианты с тройным успехом, теперь только с тремя плюсами)
+++
-+++
+-++
++-+
--+++
-+-++
-++-+
+--++
+-+-+
++--+
++=+
+=++
=+++
(вроде всё, но перепроверьте)
Затем вероятность для каждого, и суммируете.

[Cash]

Самое тупое - процесс игры смоделировать марковской цепью. Состояния - количество успехов и неудач (всего 15 состояний). Составляете матрицу перехода и возводите ее в пятую степень.
Но гораздо меньше вычислений, если посмотреть в сторону динамического программирования. Рисуете матрицу $4 \times 4$. Номер строки (нумерация с нуля) - успехи, столбца - неудачи. На пересечении - вероятность попасть в это состояние. Выписываете рекуррентное соотношение и начиная с левого верхнего угла заполняете ее. Сумма последнего столбца и будет вашей итоговой вероятностью.

[Sender]

В общем, выигрышными для нас являются серии AAA, AAC, AC, C, в которые можно вплести B, BB, D. Ради любопытства прикинул - получается без малого 60%, если нигде не ошибся. Если это вероятность выжить после ранения, медицина в этом ролевом мире оставляет желать лучшего.

[ProPupil]

Насколько я понял - тут существенно количество успехов и провалов, и не обязательно подряд.
То есть УПУПУ - это "три успеха до трёх провалов". Впрочем, здесь надо уточнить у ТС.
И заодно - "1" это двойной провал, а "20" - тройной успех?
[/quote]

Да, всё верно.

У меня такая мысль появилась:

Вероятность набрать три провала без успехов равна $\frac{1}{20}\frac{1}{20}+\frac{1}{20}\frac{8}{20}+\frac{8}{20}^3 = (173)/(2000)$.

Вероятность набрать три провала ровно с одним успехом равна $\frac{173}{2000}\frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{519}{4000}$

Вероятность набрать три провала ровно с двумя успехами равна $\frac{173}{2000}\frac{1}{2}^2\cdot6 = \frac{519}{4000}$.

Вероятность, которая меня интересует, есть $1 - ... = \frac{327}{500}=0.654$

Число 3 - УППП, ПУПП, ППУП
Число 6 - УУППП, УПУПП, УППУП, ПУУПП, ПУПУП, ППУУП

[Sender]

ProPupil в сообщении #1187485 писал(а):

Вероятность набрать три провала без успехов равна $\frac{1}{20}\frac{1}{20}+\frac{1}{20}\frac{8}{20}+\frac{8}{20}^3 = (173)/(2000)$

По-моему, тут чего-то не хватает.

[ProPupil]

Sender в сообщении #1187487 писал(а):

ProPupil в сообщении #1187485 писал(а):

Вероятность набрать три провала без успехов равна $\frac{1}{20}\frac{1}{20}+\frac{1}{20}\frac{8}{20}+\frac{8}{20}^3 = (173)/(2000)$

По-моему, тут чего-то не хватает.

1 - вероятность двух 1 единичек
2 - вероятность 1 и вероятность от 2 до 9
3 - вероятность три раза от 2 до 9

[Sender]

Может быть с буквами будет нагляднее?
Вот учтённые вами серии с неблагоприятным исходом:
DD,
DB,
BBB.
По-вашему, других нет?

[Евгений Машеров]

ProPupil в сообщении #1187485 писал(а):

У меня такая мысль появилась:

Вероятность набрать три провала без успехов равна $\frac{1}{20}\frac{1}{20}+\frac{1}{20}\frac{8}{20}+\frac{8}{20}^3 = (173)/(2000)$.

Вероятность набрать три провала ровно с одним успехом равна $\frac{173}{2000}\frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{519}{4000}$

Вероятность набрать три провала ровно с двумя успехами равна $\frac{173}{2000}\frac{1}{2}^2\cdot6 = \frac{519}{4000}$.

Вероятность, которая меня интересует, есть $1 - ... = \frac{327}{500}=0.654$

Число 3 - УППП, ПУПП, ППУП
Число 6 - УУППП, УПУПП, УППУП, ПУУПП, ПУПУП, ППУУП

А двойные-тройные не рассмотрены?

-- 26 янв 2017, 11:29 --

У меня получилось 0.515.

[Cash]

$59,5\%$

\begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.25 & 0.213 \\ 0.4 & 0.4 & 0.3 & 0.205 \\ 0.21 & 0.29 & 0.278 & 0.178 \\ 0.115 & 0.151 & 0.140 & \end{pmatrix}

[Евгений Машеров]

Да, так. 0.591125

[mustitz]

У меня получилось 0.55245

Используется синтаксис C

#include <stdio.h>

#define N 20

static int table[N+1] = { [1] = -2, [2 ... 9] = -1, [10 ... 19] = +1, [20] = +3 };

static int win = 0;
static int lose = 0;

void try(const int w, const int l)
{
    if (w >= 3) {
        ++win;
        return;
    }

    if (l >= 3) {
        ++lose;
        return;
    }

    for (int i=1; i<=N; ++i) {
        const int d = table[i];
        if (d > 0) {
            try(w+d, l);
        } else {
            try(w, l-d);
        }
    }
}

int main()
{
    try(0,0);
    printf("win = %d\nlose = %d\ntotal = %d\npersent = %.3f\n", win, lose, win+lose, (100.0 * win)/(win+lose));
    return 0;
}
 

Используется синтаксис Bash

$ gcc -std=gnu99 test.c
$ ./a.out 
win = 455384
lose = 368913
total = 824297
persent = 55.245
 

[Sender]

Точное значение у меня $\frac{4761}{8000}$.

[Cash]

Sender в сообщении #1187570 писал(а):

Точное значение у меня $\frac{4761}{8000}$

Да, у меня также. И Евгений Машеров, наверное, просто опечатался в третьем знаке.
mustitz, мне тяжело сказать, какое НЕЧТО у вас подсчитывает total. Но то, что он не делится на 20, должно наводить на сомнения в равновероятности этих НЕЧТ.