2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 13:13 


25/01/17
4
Считал предел $$\lim\limits_{x\to0}{\frac{\sin{x^2}-{x^2}}{1-\cos{x^3}}}$$
Заменил его на
$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{2\sin{\frac{x^2}{2}}\cos{\frac{x^2}{2}}-{x^2}}{2\sin^2{\frac{x^3}{2}}}$$
Далее разложил синусы и косинусы по асимптотическим формулам:
$$\sin{\frac{x^2}{2}}=\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle$$
$$\cos{\frac{x^2}{2}}=1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle$$
$$\sin^2{\frac{x^3}{2}}={\frac{x^6}{4}+o{\left\langle {x^6}\right\rangle}$$

Подставил все это дело в предел :
$$\lim\limits_{x\to
0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$
В числителе скобки перемножил, иксы в квадрате сократил, далее поделил на икс в шестой.

В результате у меня получилось -1/4
Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.
Где я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 13:18 
Модератор


19/10/15
1196
Недоразложили первый синус. Запишите формулы с помощью TeX, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.01.2017, 13:18 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.01.2017, 15:53 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.

И правильно выдаёт. Вы зачем-то стали переходить к половинному аргументу, тогда как нужно было просто сразу воспользоваться разложениями для синуса и косинуса до нужного порядка. Было бы гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
Заменил его на
$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{2\sin{\frac{x^2}{2}}\cos{\frac{x^2}{2}}-{x^2}}{2\sin^2{\frac{x^3}{2}}}$$
Зачем? Стало хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:02 
Модератор


19/10/15
1196
Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
$$\lim\limits_{x\to
0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$
Тут сверху ничего точнее, чем $o(x^2)$, получить нельзя. Для того, чтобы получить что-нибудь полезное, нужно второе слагаемое в синусе, которое будет порядка $x^6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:27 


25/01/17
4
Metford в сообщении #1187313 писал(а):
Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
Полез в WolframAlpha забил его туда. Он мне выдает -1/3.

нужно было просто сразу воспользоваться разложениями для синуса и косинуса до нужного порядка. Было бы гораздо проще.

Я правильно понимаю, что для этого асимптотические формулы не работают? Только формула Тейлора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Luctator в сообщении #1187323 писал(а):
что для этого асимптотические формулы не работают?

Асимптотическая формула - это вообще из другой оперы. Вы, видимо, имеете в виду разложения типа $\sin x=x+o(x)$ при $x\to 0$. Да, в таком виде для синуса будет маловато - хотя бы из того исходя, что в знаменателе другая степень $x$, а в числителе просто нуль получится. Нужно ещё слагаемое удержать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:49 


25/01/17
4
Metford в сообщении #1187329 писал(а):
Luctator в сообщении #1187323 писал(а):
что для этого асимптотические формулы не работают?

Асимптотическая формула - это вообще из другой оперы. Вы, видимо, имеете в виду разложения типа $\sin x=x+o(x)$ при $x\to 0$. Да, в таком виде для синуса будет маловато - хотя бы из того исходя, что в знаменателе другая степень $x$, а в числителе просто нуль получится. Нужно ещё слагаемое удержать.

Вас понял, спасибо за ответ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 16:53 


20/03/14
12041
 i  Luctator
1) Чтобы процитировать часть поста, выделите эту часть и нажмите кнопку "Вставка".
2) Вы не обязаны цитировать что-либо, если нет необходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение25.01.2017, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
В числителе скобки перемножил, иксы в квадрате сократил, далее поделил на икс в шестой.

Как можно "сократить" выражения в числителе? Мне за такие фразочки Марьванна в 5-м классе у доски тряпкой в морду запустила, чем на всю жизнь отучила ересь нести!
Подобные члены не сокращаются, а "взаимно уничтожаются", но в числителе не возникает подобных членов!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать lim(sin(x^2)-x^2)/(1-cos(x^3). Х->0
Сообщение26.01.2017, 11:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Luctator в сообщении #1187323 писал(а):
асимптотические формулы не работают? Только формула Тейлора?

Формула Тейлора -- она и есть асимптотическая.

Luctator в сообщении #1187283 писал(а):
$$\lim\limits_{x\to
0}{{\frac{2\left\lbrace\frac{x^2}{2}+o\left\langle{x^2}\right\rangle\right\rbrace\left\lbrace1-{\frac{x^4}{8}}+o\left\langle{x^4}\right\rangle\right\rbrace}{\frac{x^6}{4}+o{\left\langle{x^6}\right\rangle}}$$

Ну допустим (не считая потери одного слагаемого вверху). А теперь раскройте скобки вверху и посмотрите, что выйдет. Только честно раскрывайте, ничего не теряя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group