Эквивалентные бесконечно малые функции

[anpetrobul]

Прошу прощения за глупый вопрос. Где можно найти доказательство основных эквивалентностей бесконечно малых функций? Знаю, что это следствия из замечательных пределов, но не могу понять, как эти следствия выведены. Заранее спасибо.

[Metford]

anpetrobul в сообщении #1186327 писал(а):

Где можно найти доказательство основных эквивалентностей бесконечно малых функций? Знаю, что это следствия из замечательных пределов, но не могу понять, как эти следствия выведены

Вы имеет в виду конкретные формулы типа $e^x=1+x+o(x)$ при $x\to 0$ или более общие утверждения? Привели бы пример - можно было бы о чём-то говорить; выяснять, что непонятно. А пока что предмет разговора не наблюдается.

[anpetrobul]

Да-да, именно их.

[bot]

Первый замечательный есть везде, такое совпадение он у Вас под номером 1.
2-5 его простые следствия.
Второй замечательный тоже есть везде, а 6-10 это его следствия.
Отдельно про 10. При натуральных $m$ - это устное следствие бинома Ньютона.

-- Вс янв 22, 2017 15:27:29 --

Вместо бинома Ньютона можно ещё проще - прямо следует из тождества $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\ldots+1)$

[deep blue]

В 7-ом пункте ошибка. Кроме того полезно понимать куда стремится x в этих эквивалентностях.
7-10 это следствия второго замечательного, полученные довольно хитрыми заменами переменных.
Все эти эквивалентности это по сути запись разложения соответствующей функции в ряд до второго члена.
Мне вот интересно существуют ли какие-нибудь хитроумные замены чтобы вычислить третий член ряда (без использования производных). Например, найти $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$
Похоже что нет. Нигде такого не встречал.

[sergei1961]

Можно использовать двусторонние неравенства поточнее для логарифма. Хотя это не совсем честно, они доказываются с производными.

[bot]

deep blue в сообщении #1186502 писал(а):

В 7-ом пункте ошибка. Кроме того полезно понимать куда стремится x в этих эквивалентностях.

+1 а я проморгал. После изучения эквивалентностями и показа их употребления "сокращением" синусов в выражении типа $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}$ на контрольной часто встречался с такими решениями: $\lim\limits_{x\to\pi}\frac{\sin 2x}{\sin x}=2.$

[anpetrobul]

Спасибо за ответы)