Волчок Лагранжа и внешний диссипативный момент

[Ingus]

Пусть на ось собственного вращения волчка действует вертикальная сила $P$, приложенная к точке на расстоянии $l$ от центра тяжести волчка.
Главные осевые моменты инерции равны:
$ $A=B=0.004 \text{кг}\cdot\text{м}^2$,
$C=1.1A$
Введем направляющие косинусы:
$\gamma_1=\sin\theta\sin\varphi$
$\gamma_2=\sin\theta\cos\varphi$
$\gamma_3=\cos\theta$
Где $\theta$ , $\varphi$, и появляющийся ниже $\psi$ - Эйлеровы углы.
Рассмотрим два варианта приложения момента силы $P$ :
$M_x=Pl\gamma_2$
$M_y=-Pl\gamma_1$
$M_z=0$
(сила тяжести направлена вниз)
либо:
$M_x=-Pl\gamma_2$
$M_y=Pl\gamma_1$
$M_z=0$
("сила тяжести" направлена вверх).
Введем момент силы трения перпендикулярно плоскости "эклиптики".
Его проекции на главные оси инерции:
$N_x=-N\gamma_1$
$N_y=-N\gamma_2$
$N_z=-N\gamma_3$
Запишем уравнения:
$\\A\dot{p}+(C-B)qr={M_x}-{N_x}$
$\\B\dot{q}+(A-C)pr={M_y}-{N_y}$
$\\C\dot{r}+(B-A)pq={M_z}-{N_z}$
$\dot{\psi}=(p\sin\varphi+q\cos\varphi)\csc\theta$
$\dot{\theta}=(p\cos\varphi-q\sin\varphi)$
$\dot{\varphi}=r-(p\sin\varphi+q\cos\varphi)\cot\theta$

$Pl=0.1$,
$N=0.001$,
$\theta(0)=0.4$,
$r(0)=20\pi$
Остальные начальные условия - нули.

Численное решение показало, что независимо от направления силы P, угол нутации $\theta$ возрастает… Это возможно? Проверьте, пожалуйста, кто понимает?
Подскажите, пожалуйста, где почитать решение этих уравнений в аналитике?

[ElectricDrive]

Ingus в сообщении #1186107 писал(а):

независимо от направления силы P, угол нутации $\theta$ возрастает…

Возможно, но не уверен, что постоянное возрастание угла во времени связано с независимостью трения от скорости (которая растёт с амплитудой при неизменной частоте), точнее отсутствием его роста. То есть независимо от амплитуды колебаний на систему действует неизменная средняя (за период) разница между моментом трения и приложенного, которая раскачивает без ограничения.

Ingus в сообщении #1186107 писал(а):

Численное решение показало

Если уменьшение шага перестаёт влиять на результат, то , скорее всего, он приблизился к точному.

Ingus в сообщении #1186107 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где почитать решение этих уравнений в аналитике?

Вроде бы, даже для простейшего маятника аналитическое решения получается через разложения в ряд.

[Ingus]

ElectricDrive в сообщении #1187321 писал(а):

которая раскачивает без ограничения

Многие из нас видели имитационные модели движения твердого тела на сайте Бутикова Е.И. Но и не заглядывая туда, можно представить псевдорегулярную прецессию твердого тела при наличии трения - амплитуда нутации затухает, а ось собственного вращения клонится все больше и больше вниз, выражение для угла нутации как бы содержит вековой член...
Но почему он отрицательный, когда момент силы тяжести взять с обратным знаком?
Пошел разлагать в ряд по малому параметру...

[Ingus]

Похоже мне удалось найти довольно необычный способ записи уравнений движения волчка Лагранжа с трением:
$A\ddot\psi\sin\theta+2A\dot\psi\dot\theta\cos\theta-C\dot\theta(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)=N_\psi$
$A\ddot\theta+\dot\psi\sin\theta[C(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)-A\dot\psi\cos\theta]=Pl\sin\theta+N_\theta$
$C(\ddot\varphi+\ddot\psi\cos\theta-\dot\psi\dot\theta\sin\theta)=N_\varphi$
Где $\vec{N}$ - момент силы трения.
И вот что интересно, при смене знака момента силы тяжести, волчок упорно падает! Как так?
$N_\psi=-N\sin\theta$
$N_\theta=0$
$N_\varphi=-N\cos\theta$