Замкнутые кривые и механическое движение

[Someone]

Shtorm в сообщении #1186025 писал(а):

Многие плоские кривые можно получить - как траекторию движущейся материальной точки под действием сил, которые описываются известными физическими законами.

Вообще-то, движение материальной точки по заданной траектории рассматривает раздел механики, называемый кинематикой. Но здесь даже и кинематика никакая не нужна, потому что скорости и ускорения никак не влияют на получающуюся кривую. Это просто параметрическое задание линии. Чистая математика.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1186565 писал(а):

Если всё выразимо через положения без скоростей, то не надо....

Someone в сообщении #1186655 писал(а):

Но здесь даже и кинематика никакая не нужна, потому что скорости и ускорения никак не влияют на получающуюся кривую.

Уважаемые собеседники, но ведь не думаете же вы, что любую замкнутую кривую можно задать как эпитрохоиду или гипотрохоиду? Касательно полярных роз - да согласен, их можно описать без кинематической модели вращающегося стержня. Их можно все описать, как гипотрохоиды. Их в таком случае иногда называют трохоидальные розы. А другие замкнутые кривые?
Someone, вот Вы говорите, что скорости и ускорения никак не влияют. Но если будет вращаться стержень, а на стержне будет вращаться что-то, а там ещё внутри колебаться будет что-то, то угловая скорость вращения стержня повлияет на полученную кривую. Согласны?
Вот, например, фигуры Лиссажу - их же нельзя получить, задав просто качение кругов и их радиусы. Или я не прав? Фигуры Лиссажу, в рассматриваемой концепции, мы можем задать например так: есть вертикальный стержень, который совершает гармонические колебания влево-вправо, оставаясь в вертикальном положении. По стержню движется точка, которая на стержне совершает гармонические колебания. Частоты колебаний стержня и точки - разные. Тогда, при определённых условиях соотношения этих частот, траектория движения точки опишет замкнутую кривую - фигуру Лиссажу.
arseniiv, над остальными Вашими замечаниями я ещё подумаю.

[Someone]

Shtorm в сообщении #1186726 писал(а):

Уважаемые собеседники, но ведь не думаете же вы, что любую замкнутую кривую можно задать как эпитрохоиду или гипотрохоиду?

Разумеется, нет.

Shtorm в сообщении #1186726 писал(а):

Но если будет вращаться стержень, а на стержне будет вращаться что-то, а там ещё внутри колебаться будет что-то, то угловая скорость вращения стержня повлияет на полученную кривую. Согласны?

Не согласен.

Вы сейчас говорите о так называемых механических кривых, основное свойство которых состоит в том, что они воспроизводятся каким-нибудь механическим устройством. При этом накладывается условие однозначности: линия, которую "вычерчивает" определённая точка механизма, не должна зависеть от скоростей и ускорений деталей механизма. То есть, если механизм вычерчивает, допустим, некоторую дугу параболы при одной скорости вращения ведущего звена устройства, то точно ту же дугу параболы он должен вычерчивать и при любой другой скорости вращения упомянутого звена, а также и при любом неравномерном его вращении. В противном случае у нас нет оснований утверждать, что данный механизм воспроизводит заданную кривую. Теорию таких механизмов рассматривал, например, И. И. Артоболевский (Теория механизмов для воспроизведения плоских кривых. Москва, Издательство Академии наук СССР, 1959. http://www.twirpx.com/file/1120650/).

Обращаю Ваше внимание на то, что устройство со свободно болтающимся маятником, скорее всего, не удовлетворяет требованию однозначности, поскольку положение маятника не связано однозначно с положениями остальных деталей механизма, поэтому нельзя сказать, что такой механизм воспроизводит какую-то определённую кривую. При разных запусках он будет "вычерчивать" разные линии.

Что касается математики, то здесь всякие скорости и ускорения совершенно безразличны. Есть понятие параметризованной кривой как непрерывной вектор-функции $\vec r\colon[a;b]\to\mathbb R^n$. То, что мы называем кривой в пространстве $\mathbb R^n$ — это годограф параметризованной кривой, то есть, образ отрезка $[a;b]$: $\{\vec r(t):t\in[a;b]\}$. Две параметризованные кривые $\vec r_1\colon[a_1,b_1]\to\mathbb R^n$ и $\vec r_2\colon[a_2,b_2]\to\mathbb R^n$ называются эквивалентными, если существует такая строго монотонная функция $\varphi\colon[a_1,b_1]\to[a_2,b_2]$, что $\vec r_1(t)=\vec r_2(\varphi(t))$ для всех $t\in[a_1;b_1]$. Эквивалентные параметризованные кривые имеют один и тот же годограф, то есть, "вычерчивают" одну и ту же кривую в пространстве $\mathbb R^n$.

Эти определения являются, в некотором смысле, слишком общими. Например, кривая Пеано, "проходящая через" все точки квадрата, может быть задана таким образом. Обычно требуют существования непрерывных производных до заданного порядка $m\geqslant 1$ включительно (кривые класса $C^m$) и гладкости (это означает, что первая производная вектор-функции ни в одной точке отрезка не обращается в $\vec 0$). В случае кривых класса $C^m$ (неважно, гладких или нет) от упомянутой выше функции $\varphi$ требуют, чтобы она имела непрерывные производные до порядка $m$ включительно, и чтобы её первая производная не обращалась в $0$.

Если параметр $t$ интерпретировать как время, то для параметризованной кривой класса $C^2$ можно определить скорость и ускорение движения точки $\vec r(t)$. Однако для эквивалентных кривых скорости и ускорения могут быть совершенно разными, хотя они "вычерчивают" одну и ту же траекторию.

[Shtorm]

Someone, спасибо за такой развёрнутый информативный ответ.

Someone в сообщении #1186760 писал(а):

И. И. Артоболевский (Теория механизмов для воспроизведения плоских кривых. Москва, Издательство Академии наук СССР, 1959. http://www.twirpx.com/file/1120650/

Спасибо, скачал. Ценная книга. Глянул мельком, хотел найти фигуры Лиссажу, не увидел, но может плохо смотрел. Видел, правда в начале книги, в предисловии, что такие механизмы позволяют получить любую кривую

Someone в сообщении #1186760 писал(а):

При этом накладывается условие однозначности: линия, которую "вычерчивает" определённая точка механизма, не должна зависеть от скоростей и ускорений деталей механизма.

Понятно. Если например, представим некоторую точку, которая двигается по кривой Лиссажу, то неважно с какой скоростью она двигается - траектория от этого не изменится. Возможно мне, чтобы дальше дискутировать, следует хотя бы немного почитать эту книгу. Но уже сейчас можно сделать два вывода: можно представить механизм, который будет вычерчивать заданную кривую, независимо от скорости движения частей механизма, а можно представить механизм, который будет вычерчивать заданную кривую при определённых скоростях частей механизма. Пример второго я приводил выше с анимацией. Это тоже называется кинематическим описанием кривой. Этот второй тип, иногда позволяет упростить кинематическое описание.
И у меня тут же возникает вопрос, если кривую можно смоделировать с помощью такого механизма, который однозначно задаёт кривую, независимо от скорости движения деталей, то однозначно - такой кривой можно сопоставить систему из двух параметрических уравнений?

[Someone]

Shtorm в сообщении #1186800 писал(а):

И у меня тут же возникает вопрос, если кривую можно смоделировать с помощью такого механизма, который однозначно задаёт кривую, независимо от скорости движения деталей, то однозначно - такой кривой можно сопоставить систему из двух параметрических уравнений?

Можно. Параметризованная кривая и задаётся системой $n$ параметрических уравнений ($n$ — размерность того пространства, в котором рассматривается кривая). По определению параметризованной кривой.
А если кривая описывается движением точки, то параметрическое представление возникает автоматически, поскольку это просто зависимость координат от времени.

Shtorm в сообщении #1186800 писал(а):

механизмы позволяют получить любую кривую

Насколько я помню, в книге речь идёт о шарнирно-рычажных механизмах и алгебраических кривых.

[Shtorm]

Someone в сообщении #1186760 писал(а):

Обращаю Ваше внимание на то, что устройство со свободно болтающимся маятником, скорее всего, не удовлетворяет требованию однозначности, поскольку положение маятника не связано однозначно с положениями остальных деталей механизма, поэтому нельзя сказать, что такой механизм воспроизводит какую-то определённую кривую. При разных запусках он будет "вычерчивать" разные линии.

С этой точки зрения, такой механизм можно отнести ко второму типу кинематических моделей. Выше я приводил пример кинематического описания полярных роз с вращающимся стержнем. В такой модели тоже, вычерчиваемая кривая будет зависеть от изначального положения деталей. Если точка начинает движение, не из начала координат в начальный момент времени, а например с конца стержня, то уравнение полярных роз будет не $\rho(\varphi) = A\sin(k \varphi)$, а $\rho(\varphi) = A\cos(k \varphi)$. Кинематическая модель описания полярных роз с помощью вращающегося стержня приводится например в книге Савёлов А.А. Плоские кривые. Москва 1960 г. на странице 166 самый первый абзац сверху.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #1186800 писал(а):

Глянул мельком, хотел найти фигуры Лиссажу, не увидел, но может плохо смотрел. Видел, правда в начале книги, в предисловии, что такие механизмы позволяют получить любую кривую

Someone в сообщении #1186802 писал(а):

Насколько я помню, в книге речь идёт о шарнирно-рычажных механизмах и алгебраических кривых.

С самими механизмами я ещё разбираюсь, там присутствует название кулачковый механизм, а ещё какие-то пары IV класса, V класса, не знаю что это такое. Но по картинкам видно, что шарниры, рычаги, поршни, ползунки и окружности. А вот касательно "только алгебраических" кривых Вы неправы. Глава VII называется "Механическое воспроизведение некоторых алгебраических кривых высших порядков и трансцендентных кривых". И сразу в начале главы моделируется циклоида, которая не является алгебраической кривой. А сложные фигуры Лиссажу - являются алгебраическими кривыми.

[EXE]

Shtorm, аналитически к большой массе пространственных механизмов не подобраться, но численно всё решается. С любыми плоскими, пишут, справляются как отдельные пакеты, так и подпакеты известных САПР. По траекториям синтезируют и по схемам траектории рассчитывают.

[Shtorm]

EXE в сообщении #1186894 писал(а):

аналитически к большой массе пространственных механизмов не подобраться, но численно всё решается.

Вот этот момент у меня вызывает интерес и вопросы. Я то конечно же изначально ставил задачу получить всё аналитически. Допустим, некий механизм описал некоторую кривую. Получается, что по Вашим словам, в некоторых случаях я не смогу аналитически задать эту кривую? Почему?

[EXE]

Почему? Ну, примерно, почему в некоторых случаях нельзя найти обратную функцию, взять интеграл, найти решение дифф уравнения…

[Shtorm]

EXE, ясно. Ну, это если говорить в целом и общем. Например мы знаем силу, которая приложена к детали механизма, составляем дифференциальное уравнение относительно вектора перемещения - как неизвестной функции. Пытаемся решить диффур - а он аналитически не решается. Но, тут то мы имеем дело со специальными механизмами - специально разработанными, чтобы можно было аналитически задать кривую. По крайней мере я так понял. Возможно что-то недопонял.

[EXE]

Нет, я тоже не специалист. Но там, вроде бы, начинают не с силы, а с геометрии. Всё остальное рассчитывается после. Геометрия позволяет получить кинематику, а, зная массу, потом считают силу. Есть управляющий задающий привод, и по его закону движения получают все другие величины. На самом деле, могут считать в каком-то другом направлении, чтобы было проще, но потом всё равно привязываются к приводу.
А механизмы все специальные.

[Someone]

Shtorm в сообщении #1186933 писал(а):

Например мы знаем силу, которая приложена к детали механизма, составляем дифференциальное уравнение

То, что Вы говорите — это динамика. Как я уже говорил, речь должна идти о кинематике. Разумеется, при нужде составить дифференциальное уравнение можно, но связывать оно будет не силы со скоростями и ускорениями, а перемещения отдельных звеньев. И обычно можно ограничиться алгебраическими соотношениями.

Shtorm в сообщении #1186852 писал(а):

А вот касательно "только алгебраических" кривых Вы неправы.

Согласен. Я эту книгу читал много лет назад, так что содержание подзабыл. Но кулачковый механизм, в принципе, позволяет нарисовать график произвольной функции (с учётом физических ограничений).

[EXE]

Shtorm, здесь на форуме существовала тема http://dxdy.ru/topic94991.html
Затейников разогнали, но примеры остались. Там ответы на некоторые вопросы.