2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение19.01.2017, 23:35 


27/05/16
115
Не могу понять один момент. Пусть дано уравнение Эйлера с постоянными коэффициентами:
$a_0x^ny^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+ ... + a_{n-1}xy' + a_ny=f(x)$. Мы производим замену $x=e^t$, а $y(x)=y(e^t)=u(t)$, и уравнение приводится в новых переменных $u(t)$ и $t$ получается линейное с постоянными коэффициентами такого вида: $a_0L_n[u] + a_1L_{n-1}[u] + ... + a_{n-1}L_1[u]+a_nu=F(t)$, где $L_i$ - это дифференциальные операторы соответствующего порядка с постоянными коэффициентами. Нужно для нового уравнения составить характеристический многочлен $\chi(\lambda)$, чтобы найти его корни, ну и так далее. В учебнике показывается, что этот многочлен совпадает с тем многочленом, который получится, если подставить в исходное уравнение $y=x^\lambda$, а потом сократить на $x^\lambda$. Я понял, что в силу замены это эквивалентно тому, что в новое уравнение подставить $e^{\lambda t}$ и сократить на это выражение. А как понять, что нужные многочлены совпадают ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:16 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loser228
Я не очень понял Ваши проблемы...
1. Характеристический многочлен именно так и получают: подставляют (в ур-е с пост. к-тами) экспоненту, и сокращают на нее.
2. Диф. операторы $L_i$ - так и получаются... Попробуйте несколько штук явно выписать.
3. Вообще, Вам должны были еще объяснить, как сразу написать соотв-й хар. многочлен.
Он равен $a_0 \lambda^{[n]} + a_1 \lambda^{[n-1]} + ... + a_n$, где $\lambda^{[i]} = \lambda\cdot (\lambda -1)\cdot ... \cdot (\lambda -i+1)$ - "факториальная" степень

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:27 


27/05/16
115
По пункту 3 и возник вопрос. Каждый раз выполнять подстановку экспоненты и в новом уравнении вычислять соответствующие коэффициенты - это я могу, а сразу-то как ? Точнее, метод я понял, а откуда формула, написанная Вами и увиденная мной в учебнике, берётся, осознать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Замена аргумента--это для объяснения, почему решение ищут в таком виде (комбинация степеней). А для нахождения решения делать замену не надо, а надо подставлять $x^\lambda $

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:39 


27/05/16
115
Но после подстановки в исходное уравнение $x^\lambda$ получится уравнение относительно новой переменной, а потом придётся возвращаться к старым, как я понял, чтобы получить $y(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
loser228
Не обязательно. Можно делать так (помня о том, чем Ваше ур-е является - в "хороших переменных", и используя те рецепты - для "хороших уравнений"): сразу составить хар. многочлен - по указанной формуле.
Найти корни. Состряпать "общее решение однородного ур-я" - в виде линейной комбинации соответствующих степеней (что будет, если корни - кратные?). Да и "частное решение неоднородного" - для случая "квазимногочлена" - искать по старым рецептам, адаптируя их к....

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 01:51 


27/05/16
115
В принципе, как решать на практике, я более-менее понял. А вот откуда берётся указанная формула для характеристического многочлена, понять не могу :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение20.01.2017, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
loser228 в сообщении #1186009 писал(а):
А вот откуда берётся указанная формула для характеристического многочлена,


Чему равна $k–$ая производная от $x^\lambda$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение21.01.2017, 03:45 


27/05/16
115
Red_Herring в сообщении #1186021 писал(а):
loser228 в сообщении #1186009 писал(а):
А вот откуда берётся указанная формула для характеристического многочлена,


Чему равна $k–$ая производная от $x^\lambda$?


Она равна $0$, если $k>\lambda$, в остальных случаях $(x^\lambda)^{(k)}= \lambda(\lambda-1)...(\lambda-(k-1))x^{\lambda - k}$. Вообще, мой вопрос изначально заключался в том, что я не понимаю, как выражение(многочлен), зависящий от $\lambda$, получающийся при подстановке в исходное д. у. после сокращения на $x^{\lambda}$ равен характеристическому полиному уравнения в "новых" переменных, то есть в $t $ и $u(t)$.

(Оффтоп)

не знаю, может я слишком тупой, чтобы это понять, но пока что не удаётся :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Эйлера
Сообщение21.01.2017, 04:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
loser228 в сообщении #1186263 писал(а):
Вообще, мой вопрос изначально заключался в том, что я не понимаю, как выражение(многочлен), получающийся при подстановке в исходное д. у. после сокращения на равен характеристическому полиному уравнения в "новых" переменных

Во-первых, это абсолютно не нужно, поскольку для решения вовсе не надо делать эту замену. Во-вторых, это просто: если до замены действие оператора на $x^\lambda$ дает   $P(\lambda) x^\lambda$, а после замены действие оператора на $e^(\lambda t)$ дает   $Q(\lambda) e^{\lambda t)$, то $P(\lambda)=Q(\lambda) $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group