2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение19.01.2017, 14:27 


07/01/17
10
Всех приветствую,у меня возник следующий вопрос,например у нас задача олимпиадная: Разложить многочлен на произведение многочленов,но приходит сразу в голову деление многочлена в столбик,но вдруг у нас не найдётся такого целого $\alpha$ - корня многочлена,как найти корень и разложить его на многочлена меньших степеней?Следующая идея приходит в голову,начать преобразовывать его,при помощи обычных формул,НО мы же понимаем что многочлен может быть очень сложный,как действовать в таких ситуациях?При этом задача должна решиться за 45 мин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение19.01.2017, 14:37 
Аватара пользователя


27/02/12
3706

(Оффтоп)

Grisha Landau в сообщении #1185901 писал(а):
как действовать в таких ситуациях?

Отказаться от участия в олимпиаде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение19.01.2017, 15:04 


05/09/16
11468
Grisha Landau
См. презентацию "Многочлены. Решение олимпиадных задач по теме «Многочлены» Выполнила ученица 10 класса Б МБОУ лицея 1 Пщегорская Наталья. " здесь: http://www.myshared.ru/slide/394113/

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 01:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Grisha Landau в сообщении #1185901 писал(а):
При этом задача должна решиться за 45 мин.

Чтобы на олимпиаде задача такого сорта решилась за 45 мин, надо дома прорешать штук двадцать-сорок задач на эту тему - и не однотипных, а на самые разные методы. Обычно, это помогает....

(Оффтоп)

В свое время, будучи учеником седьмого класса, я обнаружил в книжке "Для поступающих ..." - у старшей сестры - задачку " Разложить на множители $x^4 +x^2 +1$". Уж как я над ней парился.... А задачка то оказалась простая - ну, после того, как я решение поглядел.... Так что - вот Вам один из рецептов - очень и очень специфический, кнешно - называется "представить в виде разности квадратов"

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1186004 писал(а):
Разложить на множители $x^4 +x^2 +1$". Уж как я над ней парился.... А задачка то оказалась простая - ну, после того, как я решение поглядел.... Так что - вот Вам один из рецептов - очень и очень специфический, кнешно - называется "представить в виде разности квадратов"

Для этой задачи подойдет и другой "специфический" прием: надо не разлагать на множители, а сделать совсем наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 09:36 


14/01/11
2916

(Оффтоп)

Мне на эту тему вспоминается другая задача: доказать, что число $n^4+4$ составное при натуральных $n>1$. А что касается представления в виде разности квадратов, не так уж этот приём и специфичен, по-моему, школьная формула для корней квадратного уравнения выводится обычно именно с его помощью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 11:01 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Sender в сообщении #1186042 писал(а):
школьная формула для корней квадратного уравнения выводится обычно именно с его помощью.

Э, нет: школьная формула - из "выделения полного квадрата". Оно, конечно, и тут тоже "выделение". Но я - при работе с детьми/студентами - "выделение" резервирую именно что для "выделения" - потому как оно чаще по жизни встречается и нужно.

-- 20.01.2017, 13:02 --

(Оффтоп)

И - да, второй многочлен был блин в том же задачнике - и с тем же успехом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Интересно, а может ли кто-либо привести реальный пример "очень сложного многочлена на олимпиаде"? Мне, например, такие не попадались. Ведь олимпиады по математике - это соревнования на умение находить красивые решения трудных, неожиданных задач, изобретать новые способы рассуждений, а не на скорость разложения огромных многочленов на множители.
Для ТС: если не уметь мгновенно разложить на множители уже обсуждавшиеся в этой теме многочлены, то на олимпиаде делать нечего, все это тривиальные упражнения, а вовсе не "очень сложные многочлены на олимпиаде".

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 12:35 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Самый сложный пример, что я встречал в школе - $x^{10}+x^5+1$

Идея о том, что давайте перед разложением это на что-нибудь умножим - одна из самых потрясных штук в математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 12:36 


14/01/11
2916
Кстати, а как принято действовать, если требуется разложить на множители что-то вроде $x^4-x^3y+x^3-2x^2y+2xy^2+xy-2y^2$?
(Ничего не могу сказать про сложность этого конкретного примера, т.к. сам его только что придумал, но что-то похожее когда-то в школе поставило меня в тупик, притом задача была отнюдь не олимпиадная).

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Эта бяка квадратична по одной из переменных, так что нужно начать с дискриминанта.
Вот в этой статье рассмотрено несколько разных методов факторизации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 13:09 


14/01/11
2916
Спасибо. Действительно, идея дискриминанта лежит на поверхности. Я всё ещё не теряю надежды найти оригинальную задачу. Было стойкое ощущение, что она из сборника задач по алгебре за 8-9 классы Галицкого, но там ничего похожего не нашлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 15:43 


05/09/16
11468
Sender в сообщении #1186086 писал(а):
$x^4-x^3y+x^3-2x^2y+2xy^2+xy-2y^2$

Я бы рассуждал по рабоче-крестьянски как-то так:
Попробуем разложить на два множителя. Поскольку у игреков максимальная степень двойка, а также поскольку есть игреки без иксов, значит игреки входят в оба множителя в степени не выше первой.
Свободных коэффициентов во множителях нет, иначе в произведении были бы квадраты иксов без игреков (если свободный коэффициент только в одном множителе) либо был бы свободный член в произведении (если свободные члены есть в обоих множителях).
Поскольку третья степень икса без игрека а свободных членов в множителях нет, значит в множители входят квадраты иксов (в множителях нет куба икса).


Так что будем искать разложение в виде
$(x^2+ax+bxy+cy)(x^2+dx+exy+fy)$ и значит, надо найти неизвестные коэффициенты $abcdef$
Видим, что $be=0$ поскольку в исходном многочлене нет члена $x^2y^2$
Произвольно полагаем $b=0$ и из коэффициента при $x^3y$ равному $-1$ сразу получаем $b+e=-1$ и следовательно $e=-1$. Осталось найти 4 коэффициента.
Из того, что коэффициент при $xy^2$ равен $2$, заключаем что $bf+ce=2$ а так как $b=0$ и $e=-1$ то $c=-2$ и осталось найти 3 коэффициента.
Из коэффициента при $y^2$ равного $-2$ находим что $cf=-2$ а поскольку $c=-2$, то $f=1$ и осталось найти два коэффициента -- $a$ и $d$.
Из коэффициента при $x^2y$ равного $-2$ находим что $f+c+bd+ae=-2$, подставляем ранее найденные коэффициента и получаем $1+(-2)+d\cdot 0+a\cdot (-1)=-2$ находим $a=1$
И, наконец, поскольку коэффициент при $x^3$ равен $1$, то $a+d=1$ и следовательно $d=0$
Итого, подставляем $a=1$;$b=0$;$c=-2$;$d=0$;$e=-1$;$f=1$ в $(x^2+ax+bxy+cy)(x^2+dx+exy+fy)$ и получаем ответ:

$x^4-x^3y+x^3-2x^2y+2xy^2+xy-2y^2=(x^2+x-2y)(x^2-xy+y)$

Вероятно это называют "метод неопределенных коэффициентов", не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение20.01.2017, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
wrest в сообщении #1186138 писал(а):
Вероятно это называют "метод неопределенных коэффициентов", не уверен.
Да, так и называют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень Сложный многочлен на олимпиаде
Сообщение23.01.2017, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Cash в сообщении #1186084 писал(а):
Самый сложный пример, что я встречал в школе - $x^{10}+x^5+1$
Идея о том, что давайте перед разложением это на что-нибудь умножим - одна из самых потрясных штук в математике.

Просто без умножения
$(x^{10}-x)+(x^5-x^2)+(1+x+x^2)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group