Разные ответы при решении одной задачи двумя способами.

[Solaris86]

Здравствуйте. Не могу понять, где ошибка.
Задача. Найдите расстояние между точкой $M (1,-2,8)$ и прямой $l:\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{6}=\frac{z-6}{4}$.
Решение.
Способ 1.
Рассмотрим плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$ и проходящую через точку $K$. Нормалью этой плоскости будет являться направляющий вектор прямой: $\vec{l}=\lbrace3;6;4\rbrace$.
Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид: $3(x-1)+2(y+2)+4(z-8)=0$, то есть $3x+6y+4z-23=0$.
Пусть точка $L$ – точка пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$.
Найдем ее координаты, решив совместно уравнения прямой $l$ и плоскости $\alpha$:

$$ \begin{cases} \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{6}=\frac{z-6}{4}\\ 3x+6y+4z-23=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{x-6}{3}=t\\ \frac{y-7}{6}=t\\ \frac{z-6}{4}=t\\ 3x+6y+4z-23=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x=3t+6\\ y=6t+7\\ z=4t+6\\ 3x+6y+4z-23=0 \end{cases} $$

$3(3t+6)+6(6t+7)+4(4t+6)-23=0$
$61t=61$
$t=1$
$x=9$
$y=13$
$z=10$
Итак, $L (9;13;10)$.
Расстояние между точками $K$ и $L$ является искомым расстоянием между точкой $K$ и прямой $l$:
$KL=\sqrt{(9-1)^2+(13+2)^2+(10-8)^2}=\sqrt{64+225+4}=\sqrt{293}$
Способ 2.
Направляющий вектор прямой: $\vec{l}=\lbrace3;6;4\rbrace$.
Точка $L_0 (6;7;6)$ – точка на прямой $l$.
Точка $L$ – точка пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$
$\overrightarrow{L_0K}=\lbrace6-1;7-(-2);6-8\rbrace=\lbrace5;9;-2\rbrace$
$\overrightarrow{L_0K}\times\vec{l}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & {} \vec{k} \\ 5 & 9 & -2 \\ 3 & 6 & 4 \end{vmatrix}=\vec{i}(9\cdot4-(-2)\cdot6)-\vec{j}(5\cdot4-(-2)\cdot3)+\vec{k}(5\cdot6-9\cdot3)=\vec{i}(36+12)-\vec{j}(20+6)+\vec{k}(30-27)=\lbrace48;-26;3\rbrace$
$KL=\frac{|\overrightarrow{L_0K}\times\vec{l}|}{|\vec{l}|}=\frac{\sqrt{48^2+(-26)^2+3^2}}{\sqrt{3^2+6^2+4^2}}=\frac{\sqrt{2989}}{\sqrt{61}}=7$

[grizzly]

Solaris86 в сообщении #1185790 писал(а):

$3(3t+6)+6(6t+7)+4(4t+6)-23=0$
$61t=61$

Проверяем это место очень внимательно

[Lia]

Ага, и это

Solaris86 в сообщении #1185790 писал(а):

$3(x-1)+2(y+2)+4(z-8)=0$, то есть $3x+6y+4z-23=0$.

И все остальные. Слишком много опечаток (?).

[Solaris86]

grizzly в сообщении #1185806 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1185790 писал(а):

$3(3t+6)+6(6t+7)+4(4t+6)-23=0$
$61t=61$

Проверяем это место очень внимательно

$3(3t+6)+6(6t+7)+4(4t+6)-23=0$
$9t+18+36t+42+16t+24-23=0$
$61t+61=0$
$61t=-61$
$t=-1$
Вот!!!! Спасибо большое, 3 дня мучаюсь, так и знал, что какая-то невнимательность было ошибкой)))

-- 19.01.2017, 07:19 --

Lia в сообщении #1185807 писал(а):

Ага, и это

Solaris86 в сообщении #1185790 писал(а):

$3(x-1)+2(y+2)+4(z-8)=0$, то есть $3x+6y+4z-23=0$.

И все остальные. Слишком много опечаток (?).

Опечатка одна)

[TOTAL]

Solaris86 в сообщении #1185790 писал(а):

Направляющий вектор прямой: $\vec{l}=\lbrace3;6;4\rbrace$.
Точка $L_0 (6;7;6)$ – точка на прямой $l$.

Теперь можно найти $R$, при котором дискриминант уравнения равен нулю
$(6+3t-1)^2+(7+6t+2)^2 + (6+4t -8)^2=R^2$

[Solaris86]

И что это даст?

[iifat]

Минимум же.

[ewert]

Четвёртый стандартный способ:

$$N=(6;7;6)\in l; \qquad \vec a=\overrightarrow{MN}=(5;9;-2);$$

проекция вектора $\vec a$ на $\vec l=(3;6;4)$, т.е. на прямую $l$, есть $p=\frac{\vec a\cdot\vec l}{|\vec l|}=\frac{61}{\sqrt{61}}$; по теореме Пифагора расстояние до прямой $R=\sqrt{|\vec a|^2-p^2}=\sqrt{110-61}=7$.