2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63273
Ч-чёрт, так ещё красивей! И переносится на любые дисперсионные законы квазичастиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 09:40 


27/08/16
1390
AnatolyBa в сообщении #1185356 писал(а):
$T=E-m c^2=F L$ (Это следует из $E dE=c^2p dp$ , $dE=v dp=v F dt = F dx$ )

Очень важное замечание в скобках. Идея посчитать всё через работу и импульс силы в лабораторной системе пришла мне сразу же, но я долго сомневался в определении обычной силы, действующей на летящее с релятивистской скоростью тело, и смысле условия её постоянства. Конечно же, у нас есть закон сохранения импульса, и сила в лабораторной системе - это производная импульса тела по времени в лабораторной системе по определению. А работа силы остаётся равной $F L$ и в релятивистском случае по вашему замечанию в скобках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 10:25 


05/09/16
1566
Munin в сообщении #1185325 писал(а):
Ох, я как-то точно и не знаю :-) Когда мне скажут "координатное" или "лабораторное", я примерно так и подумаю, что речь об этой $t.$ Тут дело скорей не в точном термине, а во взаимопонимании. Если вы разговариваете

Я спросил потому, что вы обратили внимание на то, что линейная зависимость времени от пройденного пути вам показалась неожиданной и употребили слово "физически".

Недавно читал FAQ по СТО и вычитал там, что физически время -- это показания часов (а $t$,$x$ и прочее в преобразованиях Лоренца -- не время и не длина, а пространственно-временные координаты).
В случае нашей задачи, к счастью, найдутся такие (покоящиеся в СО пути L, ессно) часы, которые покажут именно то время, которое получено в ответе.

Геометрическое место этих часов, очевидно -- плоскость перпендикулярная пути L и проходящая через его середину -- тогда задержки от получения часами сигналов начала и конца движения скомпенсируются.

В ультрарелятивистком пределе, однако, в зависимости от расположения (покоящихся в СО пути L) часов, измеренное по сигналам начала и конца движения время разгона будет меняться от нуля (хотя тут я не уверен, но видимо все-таки от меньшего чем $L/c$ значения) до $2L/c$ (когда часы совмещены с местом начала разгона или находятся на прямой L со стороны начала разгона).

Поэтому я и спрашиваю -- а как правильно называть время, которое требуется найти в задаче, чтобы не было недомолвок и непонимания? Ведь в задаче особо подчеркивается, что случай релятивистский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 11:06 


27/08/16
1390
wrest в сообщении #1185366 писал(а):
в зависимости от расположения (покоящихся в СО пути L) часов,

В системе отсчёта свои различные но синхронизированные между собой часы находятся в каждой точке пространства. Время пролёта тела засекается по часам, которые находятся в точке, через которую пролетает тело в этот момент. Посылать куда-то световые сигналы чтобы измерить время не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 11:23 
Заслуженный участник


28/12/12
4344
AnatolyBa
Здорово!
До такого я не додумался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 11:36 


05/09/16
1566
AnatolyBa
:appl:
После вашего решения задача уже не кажется олимпиадной (впрочем так всегда бывает когда видишь решение до которого не додумался сам) :oops:

У Munin решение это магия, с пропуском каких-то "очевидностей", типа "банальная гиперболическая тригонометрия", опусканием и восстановлением $c$ и т.п.

У вас же -- совершенно ясный подход, прямо из самой задачи. Дана энергия (=работа), сила и расстояние фиксированы, найти время. Оказывается, что определение работы $A=FS$ справедливо и в релятивистском случае. Из определения импульса даже по Ньютону $dp/dt=F$ и того, что $F=const$ а $p(t)=0$ для $t=0$ немедленно следует, что $p=tF$ и остается три шага -- записать записать полную энергию $E^2=m^2c^4+p^2c^2$ выразить из неё импульс $p=\dfrac{\sqrt{E^2-m^2c^4}}{c}$ и подставить.
Браво! :appl: Именно такое решение, на мой взгляд, и должны ожидать олимпиадные комиссионеры.

-- 17.01.2017, 11:40 --

realeugene в сообщении #1185373 писал(а):
В системе отсчёта свои различные но синхронизированные между собой часы находятся в каждой точке пространства. Время пролёта тела засекается по часам, которые находятся в точке, через которую пролетает тело в этот момент. Посылать куда-то световые сигналы чтобы измерить время не нужно.

А, то есть мы берем показания часов в месте старта в момент старта, затем берем показания часов в месте финиша в момент финиша и вычитаем -- получаем то время, которое просят найти в задаче?
Есть ли какой-то общепринятый термин для этого времени? "Координатное"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 11:45 
Заслуженный участник


28/12/12
4344
wrest в сообщении #1185381 писал(а):
После вашего решения задача уже не кажется олимпиадной (впрочем так всегда бывает когда видишь решение до которого не додумался сам)

Задача и не задумывалась олимпиадной. Немного выше среднего уровня для контрольной первого курса.
Я ее для физматшкольников на спецкурсе придумал, один человек даже почти решил :-).

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 11:46 


27/08/16
1390
wrest в сообщении #1185381 писал(а):
А, то есть мы берем показания часов в месте старта в момент старта, затем берем показания часов в месте финиша в момент финиша и вычитаем -- получаем то время, которое просят найти в задаче?

Да. Это просто промежуток времени в системе отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 12:00 


05/09/16
1566
DimaM в сообщении #1185385 писал(а):
Задача и не задумывалась олимпиадной. Немного выше среднего уровня для контрольной первого курса.

Это очень хорошая задача, кмк. На ясность мышления.
Ведь её можно переформулировать в серию задач -- например вариант найти $L$ если известно $t$, или что это не частица а ракета с постоянной силой тяги и потерей массы пренебречь и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 12:22 
Заслуженный участник


28/12/12
4344
wrest в сообщении #1185391 писал(а):
Ведь её можно переформулировать в серию задач -- например вариант найти $L$ если известно $t$, или что это не частица а ракета с постоянной силой тяги и потерей массы пренебречь и т.п.

Так это общеизвестно все.
Найти $v(t), L(t), \tau(t)$ при постоянном ускорении в квазисопутствующей системе (гиперболическом движении) - стандартные упражнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 13:10 


05/09/16
1566
DimaM в сообщении #1185396 писал(а):
при постоянном ускорении

Но оно же не постоянное тут?

DimaM в сообщении #1185396 писал(а):
Так это общеизвестно все.

Тогда почему ваше решение более сложное чем решение AnatolyBa?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 13:14 
Заслуженный участник


28/12/12
4344
wrest в сообщении #1185405 писал(а):
Но оно же не постоянное тут?

Почему вы не дочитываете до конца предложения?

wrest в сообщении #1185405 писал(а):
Тогда почему ваше решение более сложное чем решение AnatolyBa?

Потому что у меня как раз стандартный путь через выражение скорости, перемещения и т.д. от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63273
realeugene в сообщении #1185363 писал(а):
Очень важное замечание в скобках.

Как раз, нет. Всех оно шокирует, но на самом деле, это банальность: то, что в релятивистском случае работа равна $FL,$ а импульс силы - $Ft,$ это никакими дифференциальными соотношениями не нужно подтверждать, это даже не надо доказывать, привлекая конкретные законы для релятивистских энергии и импульса. Это следует просто из сохранения энергии и импульса, и не зависит ну совсем-совсем ни от чего, просто берёте произвольную $E(p),\quad v=\partial E/\partial p,$ и получаете решение задачи.

wrest в сообщении #1185381 писал(а):
У Munin решение это магия, с пропуском каких-то "очевидностей", типа "банальная гиперболическая тригонометрия", опусканием и восстановлением $c$ и т.п.

Вот кстати, этой "магии", мне кажется, физматшкольников на спецкурсе и надо учить обязательно :-)
Впрочем, мне кажется, DimaM стоит рассказать ученикам оба решения.

DimaM в сообщении #1185396 писал(а):
Так это общеизвестно все.

А вот с ракетой будет задача не такая общеизвестная. (С потерей массы, уравнение Мещерского в релятивистском случае.) Но боюсь, она может стать и нерешаемой, кроме случая, когда скорость потери массы пропорциональна оставшейся массе.

Кстати, на фотонную ракету (у которой скорость отбрасываемого вещества $c$) тоже красивые задачи можно придумать. Начиная, опять же, с законов сохранения: найти связь конечной скорости и полезной нагрузки (конечной массы).

-- 17.01.2017 14:05:57 --

wrest в сообщении #1185366 писал(а):
Я спросил потому, что вы обратили внимание на то, что линейная зависимость времени от пройденного пути вам показалась неожиданной и употребили слово "физически".
Недавно читал FAQ по СТО и вычитал там, что физически время...

Нет, ваши мысли поехали в неправильную сторону. Я всего лишь имел в виду "непонятно, почему из физических соображений это было бы так". Без глубокой философии.

После решения AnatolyBa и это стало прозрачней: конечное состояние частицы задаётся параметрами $(T,p)=(FL,Ft),$ так что линейная зависимость логична. Более того, она будет выполняться при любой зависимости $E(p),$ и даже больше: траектория движения во времени $L(t)$ при постоянной приложенной силе будет воспроизводить зависимость $E(p)$! Например, может пойти назад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 14:15 
Заслуженный участник


28/12/12
4344
Munin в сообщении #1185409 писал(а):
Кстати, на фотонную ракету (у которой скорость отбрасываемого вещества $c$) тоже красивые задачи можно придумать. Начиная, опять же, с законов сохранения: найти связь конечной скорости и полезной нагрузки (конечной массы).

Да, получается такой релятивистский аналог формулы Циолковского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 14:23 


05/09/16
1566
DimaM в сообщении #1185407 писал(а):
Потому что у меня как раз стандартный путь через выражение скорости, перемещения и т.д. от времени.

Ну это как сказать. Вот например задачки про падающее тело. Падает с высоты, найти скорость.
Можно через уравнение равноускоренного движения, а можно через приобретенную кинетическую энергию.
Второй метод работает с такой же простотой когда тело скатывается по наклонной плоскости (формулы вообще не меняются никак), а в первый метод надо добавлять синусы-косинусы.
А уж когда тело подбрасывают, то найти высоту через энергию это по-моему самый что ни на есть стандартный способ.


Впрочем, вам виднее конечно, у меня опыта и спецзнаний по преподаванию нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group