ТФКП. Найти вычеты в особых точках.

[redweblan]

Здравствуйте!

Дана функция:
$f(z)=\frac{e^{-1/z^2}}{(1+z^4)}$

Необходимо найти вычеты в особых точках.

Что я сделал.
Особые точки: $0, \sqrt{i}$
Проверил пределы функции при стремлении z к особым точкам.

Когда z стремится к нулю, предел равен нулю. Значит это устранимая особая точка.
Когда z стремится к нулю, предел равен... Вот тут начинаются проблемы.

1) Я подставляю значение $\sqrt{i}$, получаю, что предел равен бесконечности. Wolfram Alpha не может найти решения данного предела. (Прав ли я, что предел здесь равен бесконечности?)

2) Если я прав, то получается, что это полюс. 4-го порядка? Но как тогда найти вычет?

Буду очень благодарен, если вы объясните в чем я прав, а в чем ошибаюсь.

[Metford]

Я так понимаю, что для функции $\frac{1}{z^2+1}$ Вы бы указали особую точку $z=i$ - и всё, правильно?
И потом, тут прямо от определений можно отталкиваться: что такое полюс порядка $k$? вычет?

[mihaild]

redweblan в сообщении #1184387 писал(а):

Когда z стремится к нулю, предел равен нулю. Значит это устранимая особая точка.

Как вы такое получили?

redweblan в сообщении #1184387 писал(а):

Когда z стремится к нулю, предел равен...

Здесь, видимо, $\sqrt{i}$?
И вы как минимум уже потеряли два полюса - $\sqrt{-i}$.

Как у вас определялся вычет? (иногда он определяется через интеграл, иногда - через ряд Лорана)

[Markiyan Hirnyk]

Функция четна, поэтому ее вычет в $z=0$ равен $0.$

[DeBill]

redweblan в сообщении #1184387 писал(а):

объясните в чем я прав,

Да, в общем то, ни в чем. Почти.
Главное, в чем Вы не правы - это в том, что пытаетесь решать задачу (сдать зачет?) при полном отсутствии знаний по предмету...
Конкретно:
1. Забыли про особую точку "бесконечность"
2. Нет такого комплексного числа $\sqrt{i}$, но есть корни уравнения $z^2 = i$. Их, кстати , два. НАЙДИТЕ ИХ! (И еще два корня для $z^2 = -i$)

3. Разложите знаменатель на множители (на четыре!) - это поможет как с пределом, так и с вычетами.
4. Посмотрите на предел при $z\to 0$ при чисто мнимых $z$ - Вас ожидает неприятный сюрприз

-- 13.01.2017, 23:42 --

Для вычисления вычета в полюсе первого порядка есть хорошие формулы.
Про вычет в нуле (да и в бесконечности) Вам уже написали.