Площадь квадрата с единичной стороной

[Diana Ovchinnikova]

В курсе школьной геометрии доказывается формула площади квадрата. При этом в доказательстве используется квадрат со стороной равной 1, и считается очевидным, что его площадь также равна 1. Так как этот момент в учебнике опускается. Вопрос: почему площадь квадрата со стороной 1 равна 1?

[Xaositect]

Насколько я помню, это была часть определения понятия площади.

[Zessat]

Diana Ovchinnikova в сообщении #1184332 писал(а):

В курсе школьной геометрии доказывается формула площади квадрата. При этом в доказательстве используется квадрат со стороной равной 1, и считается очевидным, что его площадь также равна 1. Так как этот момент в учебнике опускается. Вопрос: почему площадь квадрата со стороной 1 равна 1?

Ибо есть формула для площади квадрата $S = a^2$, где $S$ - площадь, $a$ - сторона квадрата. Чему равен квадрат единицы?

[Sinoid]

Zessat в сообщении #1184377 писал(а):

Ибо есть формула для площади квадрата $S = a^2$

,для доказательства которой используется в том числе и аксиома

Diana Ovchinnikova в сообщении #1184332 писал(а):

в доказательстве используется квадрат со стороной равной 1, и считается очевидным, что его площадь также равна 1.

[Munin]

Вообще-то площадь квадрата со стороной 1 - вовсе не обязательно равна 1.

Например, если мы меряем длины в милях, а площади - в акрах, то квадрат со стороной 1 миля имеет площадь 640 акров.

Но это неудобно. Такие системы мер сохранились в основном в истории, или иногда закреплены традицией в узких областях (например, у нас распространена единица площади гектар, промежуточная между квадратным метром и квадратным километром, удобная для измерения полей).

Поэтому сегодня в основном распространены такие системы единиц измерения, которые обладают когерентностью. В когерентной системе единиц, площадь квадрата даётся формулой $S=a^2,$ при этом слева стоит площадь в единицах площади, а справа - сторона в единицах длины. Такая единица площади сама часто называется "единица длины в квадрате" или "квадратная единица длины" - "квадратный метр", "квадратный дюйм", и так далее.

Для сравнения, в некогерентной системе единиц площадь квадрата даётся другой формулой: $S=k\cdot a^2,$ где необходим переводной коэффициент, например, $k=640\,\tfrac{\text{акров}}{\text{миля}^2}.$ Он переводит вторую степень единицы длины ($\text{мили}^2$) в первую степень единицы площади (акры).

Таким образом, утверждение $k=1$ ниоткуда не следует, и должно приниматься дополнительно.

Если бы вы учились не в России, а в США, то для вас это было бы более привычно и повседневно.

[Sinoid]

Munin в сообщении #1184406 писал(а):

Таким образом, утверждение $k=1$ ниоткуда не следует, и должно приниматься дополнительно.

я учился по Погорелову, так у него ровно указанное вами и принимается.