Численное решение волнового уравнения

[Vanya415]

Есть такой метод численного решения, когда решение уравнения например второго порядка сводится к системе уравнений первого порядка. Данный метод описан в некоторых книгах, но уж как-то сжато. В частности ничего не сказано, как быть с начально-краевыми условиями.
Для наглядности можно рассмотреть уравнение $\frac{\partial ^2 U}{\partial t^2} = a\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} $ с условиями $U(0,t)=C1, U(L,t)=C2, U(x,0)=C3, \frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=0$

Теперь, если предположить, что $\frac{\partial U}{\partial t}=p$, а $\frac{\partial U}{\partial x}=q$, то получается следующая система
$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial q}{\partial x}$
$\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial q}{\partial t}$
$\frac{\partial U}{\partial t}=p$
$\frac{\partial U}{\partial x}=q$

Для решения этой системы можно использовать различные известные алгоритмы, которые в общем виде можно записать так ($i$ - координата, $k$ - время)
$p(i,k+1)=p(i,k)+F(p,q)$
$q(i,k+1)=q(i,k)+G(p,q)$
Дальше возникают вопросы:
Как быть с условиями? Например из $\frac{\partial U}{\partial t}=p$ и $\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=0$ ясно что $p(i,0)=0$, а если использовать потом для нахождения $U$ выражение $p(i,k)=\frac{U(i,k+1)-U(i,k)}{ht}$, то и условие $U(x,0)=C3$ можно использовать.
Но как быть с граничными условиями? И ведь для нахождения $U$ потом можно с таким же успехом использовать выражение $q(i,k+1)=\frac{U(i+1,k+1)-U(i,k+1)}{hx}$. Как в итоге правильно?