2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 04:52 


09/10/15
718
San Jose, USA
Эту задачу я придумал пару месяцев назад, но потом выяснилось, что ее придумали еще в 18 веке.
На Луне практически нет атмосферы в нашем понимании. То есть она присутствует, но в очень разреженном виде. Можно сказать там вакуум гораздо выше, чем это можно создать в любой вакуумной установке на земле.
Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты. А дальность стрельбы бы была около 100 км. Сравните с реальной максимальной дальностью порядка 3.5 км.
Так вот, возьмет такой вот АК любой модификации и выстрелим из него на Луне. Пусть скорость пули на вылете будет $\mathbf{V}$. Наверное вы в курсе, что у лучших модификаций она порядка 1км/с
А теперь прикинем, что первая космическая скорость на Луне около 1.6 км/с. То есть нашей пуле всего ничего не хватает, чтобы превратиться в искусственный спутник Луны.
Вопрос такой. Зная скорость пули на вылете $\mathbf{V }$ и зная первую космическую скорость на Луне $\mathbf{V_0}$, при известных радиусе Луны $\mathsf{R}$ и ускорении свободного падения у поверхности луны $\mathsf{g}$, определить максимальную дальность стрельбы и угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
А сами-то вы её решили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 18:20 


09/10/15
718
San Jose, USA
Задача требует некоторых вычислений связанных с применением геометрических и алгебраических свойств эллипса, ну и, как всегда в задачах на гравитацию, известных законов сохранения.
Приятно что имеет аналитическое, хотя и достаточно громоздкое решение.
Сам я ее решил до того, как узнал про 18 век.
Собственно в условии достаточно задать Отношение $\beta=v/v_0$ начальной скорость пули к первой космической. Тогда ответ можно получить в виде максимального угла пролета пули относительно центра луны (ее угловое перемещение). Ну и соответственно требуемый для этого угол выстрела по отношению к поверхности Луны. При малых скоростях он, понятно, будет близок к 45 градусам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Стало быть, решение громоздкое. Ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 20:22 


09/10/15
718
San Jose, USA
Ну да.
Задача требует последовательного применения всего что вы знаете о гравитации в рамках школьной программы в применении к эллиптическим орбитам, выраженным в полярных координатах. Наверное в ней нет " олимпиадной изюминки", но за ее решение можно смело ставить зачет за раздел гравитации в вузовском курсе общей физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1394

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1182920 писал(а):
На Луне практически нет атмосферы в нашем понимании.
Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты.

Откуда сбивать? :shock: Атмосферы-то нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 21:12 
Заслуженный участник


05/08/14
852

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1182920 писал(а):
Если бы на земле была такая атмосфера, террористы могли бы из обычного АК сбивать самолеты.

"Если бы на земле была такая атмосфера", то у самолетов возникла бы проблема с полетами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 21:52 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
9921
Кронштадт
Ну, по большому счету, она вполне стандартная и не такая уж громоздкая. Собственно

(скелет решения, кто не хочет - не подглядывайте)

Для простоты вспомним, что первая космическая скорость $v_0 = \sqrt{\frac{\varkappa^2}{R}}$, где $\varkappa^2$ - гравитационный параметр Луны, $R$ - ее радиус (ускорение свободного падения на поверхности просто не нужно). Поскольку скорость $v$ на расстоянии $R$ от притягивающего центра известна, то
$$ v^2= \varkappa^2 \left(\frac{2}{R} - \frac{1}{a}\right),$$
и тем самым мы знаем большую полуось "орбиты" пули $a$.

Уравнение эллипса в полярных координатах $r=\frac{p}{1+e\,\cos\theta}$, в точках старта и финиша полета $r=R$, из очевидных соображений требуется сделать истинную аномалию $\theta$ точки старта как можно меньшей. Поскольку фокальный параметр $p=a\,(1-e^2)$, то из выражения
$$R=\frac{a\,(1-e^2)}{1+e\,\cos\theta}$$
выражаем $\cos\theta$ и решаем простую задачу на условный экстремум, разыскивая максимум косинуса как функции $e$. Получаем $e=\sqrt{1-\frac{R}{a}}$. Тем самым мы знаем $\theta$ старта, отсюда дальность $2\,(\pi - \theta) R$.

Поскольку модуль интеграла площадей $c=p\,\varkappa$, мы знаем в точке старта модуль векторного произведения радиус вектора и скорости. Соответственно, $p\,\varkappa=R\,v\,\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол к горизонту, с которым нужно стрелять. Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 23:27 


09/10/15
718
San Jose, USA
Да, кажется вы решили задачку лучше меня.
Я в промежутке еще сосчитал какие скорости и расстояния в перигее и апогее, а потом связал эти переменные с параметрами эллипса в полярных координатах. Поэтому мой вариант более громоздкий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6528
Hogtown
А для самых занятых/ленивых : 1) чему равна наибольшая дальность при $v=1km/sec$ на Луне? Можно ли покрыть всю Луну? 2) И какова должна быть скорость для покрытия Луны? Для того, чтобы получить свою пулю в затылок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про стрельбу на Луне.
Сообщение09.01.2017, 23:44 


09/10/15
718
San Jose, USA
Red_Herring в сообщении #1183186 писал(а):
А для самых занятых/ленивых : 1) чему равна наибольшая дальность при $v=1km/sec$ на Луне? Можно ли покрыть всю Луну? 2) И какова должна быть скорость для покрытия Луны? Для того, чтобы получить свою пулю в затылок?


Пулю в затылок - это первая космическая скорость . На луне она 1.6 км/с
А здесь вот есть подробное решение задачи из книжки 18 века:
http://edgeways.ru.mastertest.ru/forum1 ... msg-680358

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group