Научите находить делители.

[Golos Purgatoria]

Мою тему закрыли потому, что не оставлял конкретных задач. Исправляюсь, только не надо в карантин.
Например, как найти делители $7+i\sqrt{5}$ в кольце $\mathbb{Z}[i$\sqrt{5}$]?
Не понятно, как решать такое.

[DeBill]

Golos Purgatoria
Ну, во первых, надо тупо написать, что значит: произведение двух чисел из кольца равно данному.
Дале: для чисел типа $z=a+\sqrt{5}bi$, можно посмотреть его модуль $m(z) = a^2 +5b^2$; он - целый. При умножении чисел, их модули перемножаются (проверить!). Ну, и какой модуль у Вашего числа? Какие у него делители? Какие из них представимы в виде $x^2 +5y^2$ ? Это резко сократит перебор (хотя и не избавит от него) . Вот найденные и бум проверять: поделим, и если частное - в кольце, то - нашли.
Иногда что-то может подсказать вид полученных на первом шаге ур-й...

[Golos Purgatoria]

DeBill в сообщении #1182703 писал(а):

Golos Purgatoria
Ну, во первых, надо тупо написать, что значит: произведение двух чисел из кольца равно данному.
Дале: для чисел типа $z=a+\sqrt{5}bi$, можно посмотреть его модуль $m(z) = a^2 +5b^2$; он - целый. При умножении чисел, их модули перемножаются (проверить!). Ну, и какой модуль у Вашего числа? Какие у него делители? Какие из них представимы в виде $x^2 +5y^2$ ? Это резко сократит перебор (хотя и не избавит от него) . Вот найденные и бум проверять: поделим, и если частное - в кольце, то - нашли.

Модуль у этого числа 54( делители 54: 1,2, 3, 9, 27, 54). Только я не совсем понял, как их дальше представлять в $x^2 +5y^2$, можно одно из них представить?

[Brukvalub]

Golos Purgatoria в сообщении #1182714 писал(а):

Только я не совсем понял, как их дальше представлять в $x^2 +5y^2$, можно одно из них представить?

Например, $9=3^2+0\cdot 5^2$. В целом же, разумно организованный перебор поможет.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1182718 писал(а):

Например, $9=3^2+0/cdot 5^2$.

Точнее, $9=3^2+5\cdot 0^2$. Это мы представили $9$ в виде $x^2+5y^2$, где $x=3$, $y=0$.

[Golos Purgatoria]

Brukvalub в сообщении #1182718 писал(а):

Golos Purgatoria в сообщении #1182714 писал(а):

Только я не совсем понял, как их дальше представлять в $x^2 +5y^2$, можно одно из них представить?

Например, $9=3^2+0/cdot 5^2$. В целом же, разумно организованный перебор поможет.

А скажите, такое представление единственно, да?

[Sonic86]

Golos Purgatoria в сообщении #1182689 писал(а):

Например, как найти делители $7+i\sqrt{5}$ в кольце $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$?

По определению начните.

DeBill в сообщении #1182703 писал(а):

Дале: для чисел типа $z=a+\sqrt{5}bi$, можно посмотреть его модуль $m(z) = a^2 +5b^2$; он - целый.

Для новичка ИМХО неочевидно, откуда этот модуль лезет. Пусть бы по определению начал и сам бы на него набрел. Зачем же сразу все рассказывать.

Golos Purgatoria в сообщении #1182720 писал(а):

А скажите, такое представление единственно, да?

В общем случае - нет.

[Brukvalub]

Golos Purgatoria в сообщении #1182720 писал(а):

А скажите, такое представление единственно, да?

Может, пора начать думать самостоятельно, пока тему не закрыли?

[Golos Purgatoria]

Sonic86 в сообщении #1182725 писал(а):

Golos Purgatoria в сообщении #1182720 писал(а):

А скажите, такое представление единственно, да?

В общем случае - нет.

Brukvalub в сообщении #1182727 писал(а):

Golos Purgatoria в сообщении #1182720 писал(а):

А скажите, такое представление единственно, да?

Может, пора начать думать самостоятельно, пока тему не закрыли?

То есть, тут не важно сколько тех представлений у числа- достаточно его просто разложить, или все же следует по каждому представлению проверять?

[Sonic86]

Golos Purgatoria в сообщении #1182729 писал(а):

То есть, тут не важно сколько тех представлений у числа- достаточно его просто разложить, или все же следует по каждому представлению проверять?

А Вы попробуйте хотя бы на собственном опыте проверить - найдите все представления, для каждого представления найдите делители, проверьте, одинаковы ли они получаются...

[Golos Purgatoria]

Sonic86 в сообщении #1182730 писал(а):

Golos Purgatoria в сообщении #1182729 писал(а):

То есть, тут не важно сколько тех представлений у числа- достаточно его просто разложить, или все же следует по каждому представлению проверять?

А Вы попробуйте хотя бы на собственном опыте проверить - найдите все представления, для каждого представления найдите делители, проверьте, одинаковы ли они получаются...

Все- понял. Благодарю всех за помощь.

[Deggial]

Новая тема отделена