2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 08:24 


30/10/06
33
Понимаю, что мой вопрос способен вызывать улыбку, т.к. материалов на тему "классические ортогональные полиномы" в интернете очень много. Однако, если разобраться, то по-настоящему ортогональны лишь полиномы Лежандра, тогда как все остальные (из тех, что мне удалось раздобыть), ортогональны не прямом смысле, а лишь при наличии дополнительной нормировки некоторой весовой функцией. Например, для того чтобы полиномы Эрмита стали ортогональными, на них накладывают весовую функция в виде экспоненты. То же самое практикуется с полиномами Чебышева и многими другими.

Конечно, из этой весовой функции можно извлечь квадратный корень, а затем наложить результат на каждую из базисных функций. Тогда базис и в самом деле станет ортогональным, только ... полиномами его тогда назвать будет уже нельзя. И только базис из полиномов Лежандра никакой дополнительной трансформации не требует, а является ортогональным сам по себе.

Впрочем, я не особенно настаиваю, чтобы ортогональный базис обязательно был полиномиальным - мне бы годился любой его вид, то с тем существенным условием, чтобы тот в качестве одной из базисных функций содержал константу типа:
$P_0(x) = 1$
И совсем было бы здорово, если бы этот базис содержал еще и функцию:
$P_1(x) = x$
Что в прикладных задачах означает вклад постоянного уровня и линейного временного тренда, соответственно.
Что же касается всех остальных базисных функций
$P_n(x) = ...$
то мне годятся любые, лишь бы они были ортогональны функциям $ P_0(x)$ и $P_1(x)$.
А если все-таки мое желание осуществимо, и вариантов здесь больше одного, то я бы предпочел, чтобы функции $P_n(x)$ сходились к нулю при удалении от начала координат, либо (что еще лучше) ортогональность вычислялась на конечном интервале.

Отсюда становятся понятны мои сетования на "нагрузку" к ортогональным полиномам в виде весовой функции - она попросту убивает в базисе составляющую $P_0(x) = 1$, превращая ее в себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 09:21 


11/07/16
272
Да. Например, многочлены Якоби, если $\alpha$ и $\beta$ взять четными натуральными числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 09:26 
Заслуженный участник


25/02/11
1520
Oam в сообщении #1182398 писал(а):
Что же касается всех остальных базисных функций
Pn(x) = ...
то мне годятся любые, лишь бы они были ортогональны функциям P0(x) и P1(x).

Чем тогда не устраивают полиномы Лежандра? К тому же на отрезке $[-a,a]$ функции $1$ и $x$ ортогональны (и являются первыми многочленами Лежандра).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 12:15 


30/10/06
33
Vince Diesel в сообщении #1182400 писал(а):
Чем тогда не устраивают полиномы Лежандра? К тому же на отрезке $[-a,a]$ функции $1$ и $x$ ортогональны (и являются первыми многочленами Лежандра).


Я боюсь отвечать на этот ваш вопрос, поскольку опасаюсь, что разговор может перейти в другую колею - обсуждение достоинств и недостатков полиномов Лежандра в каких-либо приложениях. То, что я осведомлен про полиномы Лежандра и их свойства, уже следует из самого заголовка темы. Тогда как я бы очень хотел получить ответ на вопрос о существовании или отсутствия ортогональных базисов с $P_0(x)=1$ и $P_1(x)=x$.

А к тому, что меня устраивает, наиболее близки полиномы Эрмита (в уже "масштабированном" виде!), которые выглядят весьма похоже на гауссиану ($P_0$) и ее производные в порядке возрастания степеней ($P_1,\ldots,P_n$). И этим удовлетворяют моему желанию иметь "пучность" в середине и схождение к нулю на краях. Одна лишь беда - отсутствие в базисном наборе функции $P_0(x)=1$. А без нее разложение/регрессия по полиномам Эрмита оказывается неэффективной, поскольку исходный образ/сигнал не центрирован (или плохо центрирован) по вертикальной оси. Тогда как решение задачи о вычислении постоянной "подставки", которая бы минимизировала число потребных "базисов" для обеспечения требуемой погрешности регрессии, мне явно не по зубам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:01 


11/07/16
272
Какой вопрос - такой ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:10 


30/10/06
33
Markiyan Hirnyk в сообщении #1182416 писал(а):
Какой вопрос - такой ответ.


Я спросил "Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?", тогда как мне ответили вопросом на вопрос. Так нельзя отвечать. Валидные ответы здесь - "да" или "нет". А в случае "да" еще и название в придачу.

Представьте себе, что студента на экзамене просят найти нетривиальное (ненулевое) решение уравнения, а он в ответ выдает - "чем вас не устраивает нулевое решение?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:25 
Заслуженный участник


25/02/11
1520
Oam в сообщении #1182411 писал(а):
Тогда как я бы очень хотел получить ответ на вопрос о существовании или отсутствия ортогональных базисов с P0(x)=1 и P1(x)=x.

Полиномы Лежандра существуют. Значит, существуют ортогональные базисы требуемого вида. Можно и другие настроить. Например, взять первыми элементами (на отрезке $[-1,1]$) $\{1,x\}$, а затем добавить ортогональные функции полученные из $\{x^5,x^4,x^3,x^2\}$ $-$ в таком порядке, с помощью процесса Грамма-Шмидта. Будет какая-то ортогональная система, не совпадающая с полиномами Лежанра. Можно просто взять базис (полиномы Лежанра), домножить на ортогональную матрицу, будет другой базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:26 


30/10/06
33
Markiyan Hirnyk в сообщении #1182399 писал(а):
Да. Например, многочлены Якоби, если $\alpha$ и $\beta$ взять четными натуральными числами.


А вы уверены, что весовой фактор при этом не понадобится?

Я уже исследовал на эту тему полиномы Гегенбауэра (это подкласс полиномов Якоби, у которых не два, а только одни параметр), но среди них действительно ортогональным (без необходимости вводить весовой фактор) оказался только ... полином Лежандра, который является частным случаем полиномов Гегенбауаэра, а стало быть, и Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:30 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Oam в сообщении #1182411 писал(а):
Одна лишь беда - отсутствие в базисном наборе функции P0(x)=1.

У Вас какая-то аберрация. Есть в наборе Эрмита и единичка, и икс. Экспонента же никак к собственно набору не относится. Она лишь определяет скалярное произведение, в котором многочлены купаются.

Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки). И, в частности, единица и икс будут первыми двумя многочленами всегда, когда промежуток симметричен и скалярное произведение задаётся чётной функцией.

А вот откуда вид скалярного произведение берётся -- это когда как. В случае полиномов Лежандра оно задаётся простейшим образом -- единичной весовой функцией. Кроме того (вернее, вследствие этого) полиномы Лежандра нужны для построения квадратурных формул Гаусса (формул наивысшей возможной точности). Полиномы Чебышёва полезны вообще не по причине ортогональности, а потому, что у них экстремумы выстроены на одном уровне; то, что они при этом ещё и ортогональны с каким-то там весом -- лишь приятный бонус. Многочлены Эрмита интересны тоже не экспонентой, а тем в первую очередь, что через них выражаются собственные функции гармонического осциллятора (правда, ортогональность при этом уже появляется автоматически). И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 13:44 


11/07/16
272
Вы пишите
Цитата:
А вы уверены, что весовой фактор при этом не понадобится?

Да, уверен. Согласно Вики (У меня такое ощущение, что Вы туда не заглядывали.), надо взять \alpha :=2k$ и $\beta:=2s$, где $k$ и $s$- натуральные числа и вместо многочлена $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ взять многочлен $(1+x)^{\alpha/2} (1-x)^{\beta/2}P_n^{(\alpha,\beta)}(x).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 14:10 


30/10/06
33
Markiyan Hirnyk в сообщении #1182425 писал(а):
Согласно Вики (У меня такое ощущение, что Вы туда не заглядывали.), надо взять \alpha :=2k$ и $\beta:=2s$, где $k$ и $s$- натуральные числа и вместо многочлена $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ взять многочлен $(1+x)^{\alpha/2} (1-x)^{\beta/2}P_n^{(\alpha,\beta)}(x).$


Я туда, конечно, заглядывал, то сложность расчета меня отпугнула.

Не могли бы вы помочь мне вычислить только $P_2(x)$, если $P_0(x)=1$ и $P_1(x)=x$? Но так, чтобы $P_2(x)$ была ортогональна $P_0(x)$ и $P_1(x)$ в обычно понимании, т.е. без привлечения весового фактора? А я бы проверил, так оно или не так. А то я разуверился, что это возможно.
Скажем, у полиномов Лежандра имеем:
$P_0(x) = 1$
$P_1(x) = x$
$P_2(x) = 1/2\cdot(3x^2-1)$
Сложно ли вам получить вместо $P_2(x)$ что-то другое? (если требуется сложный расчет, то только скажите - я не буду настаивать)
 i  Lia: И еще раз исправлено. Наличие долларов по краям формулы обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 14:12 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Oam в сообщении #1182433 писал(а):
Сложно ли вам получить вместо P2(x) что-то другое?

Несложно, но невозможно:

ewert в сообщении #1182422 писал(а):
Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 14:15 


30/10/06
33
ewert в сообщении #1182422 писал(а):
Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки).

Значит, от Лежандра никуда не уйти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 14:18 
Модератор


20/03/14
7648
Oam в сообщении #1182435 писал(а):
Значит, от Лежандра никуда не уйти?

Скалярные произведения разные.

Оформляйте формулы $\LaTeX$ом, будьте добры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?
Сообщение07.01.2017, 14:20 


11/07/16
272
Oam, Вы пишете
Цитата:
Я туда, конечно, заглядывал, то сложность расчета меня отпугнула.

Не могли бы вы помочь мне вычислить только P2(x), если P0(x)=1 и P1(x)=x ? Но так, чтобы P2(x) была ортогональна P0(x) и P1(x) в обычно понимании, т.е. без привлечения весового фактора? А я бы проверил, так оно или так. А то я разуверился, что это возможно.
Скажем, у полиномов Лежандра имеем:
P0(x) = $1$
P1(x) = $x$
P2(x) = $1/2\cdot(3x^2-1)$
Сложно ли вам получить вместо P2(x) что-то другое? (если требуется сложный расчет, то только скажите - я не буду настаивать)

Все это механизировано в Мэйпле (см. OrthogonalExpansions.).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group