Планиметрическая задача.

[NL0]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.
Дан треугольник $ABC$ . Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекается с биссектрисой угла $BAC$ в точке $K$ , лежащей на стороне $BC$ . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AKC$ , если $\cos B=0,6$ , $AC=18$ , а площадь треугольника $AKC$ равна $108$.



$\sin B=0,8$

$S_{ACK}=0,5AC\cdot AK\cdot \sin B$

$108=0,5\cdot 18\cdot AK\cdot 0,8$. Отсюда $AK=15$.

Треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны по двум углам, поэтому $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CK}{AC}$

То есть $AC^2=BC\cdot CK$

Тогда $18^2=(CK+15)\cdot CK$, тогда $CK=12$ (проверил на вольфрамальфа).

Далее через формулу $S=pr$ находим $r$. Это понятно, но вопрос вот в чем:

Если использовать теорему косинусов для треугольника $AKC$:

$CK^2=AK^2+AC^2-2AC\cdot AK\cdot \cos B$

$CK^2=15^2+18^2-2\cdot 15\cdot 18\cdot \frac{3}{5}=15^2+18^2-18^2=15^2$

Тогда $CK=15$, а значит треугольник $ABC$ --равнобедренный и прямоугольный тогда угол $B$ равен $45$ градусов.

Получаем противоречие, потому как $\cos 45^o\ne 0,6$. Из-за чего так получилось?

[Metford]

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

а значит треугольник $ABC$ --равнобедренный и прямоугольный

Что-то не соображу, почему Вы так решили?..

[12d3]

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

если $\cos B=0,6$ , $AC=18$ , а площадь треугольника $AKC$ равна $108$.

Что-то многовато данных. Треугольник однозначно задаётся углом и стороной, площадь вроде как ни к чему.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

12d3 в сообщении #1182263 писал(а):

Треугольник однозначно задаётся углом и стороной, площадь вроде как ни к чему.

Особо талантливые могут все узнать по одной только стороне!

[Shtorm]

12d3 в сообщении #1182263 писал(а):

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

если $\cos B=0,6$ , $AC=18$ , а площадь треугольника $AKC$ равна $108$.

Что-то многовато данных. Треугольник однозначно задаётся углом и стороной, площадь вроде как ни к чему.

Это если бы треугольник $ABC$, был бы прямоугольным, а в этой задаче не так. Посмотрите на исходный рисунок: $AC=18$, но под каким углом эта сторона лежит по отношению к основанию? Для того, чтобы ответить на этот вопрос - знание угла $B$ - недостаточно.

[DeBill]

Metford в сообщении #1182262 писал(а):

Что-то не соображу, почему Вы так решили?..

А я понял! Потому что

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

тогда $CK=12$

и

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

Тогда $CK=15$, а значит

- и тут уже можно смело писать чё хочешь.
И, возможно, дело тут в том, что

12d3 в сообщении #1182263 писал(а):

Что-то многовато данных.

(потому как есть еще хитрое условие про точку $K$, которая лежит.)

[Лукомор]

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

Треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны по двум углам, поэтому $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CK}{AC}$

Дело в том, что треугольник из условия задачи не может существовать в принципе.
Для подобных треугольников $ABC$ и $KAC$ должно одновременно выполняться $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{5}{6}$, что невозможно.

[NL0]

Metford в сообщении #1182262 писал(а):

NL0 в сообщении #1182254 писал(а):

а значит треугольник $ABC$ --равнобедренный и прямоугольный

Прямоугольный -- потому как длина медианы оказалась равна половине длины стороны, к которой она была проведена. А из этого через углы быстро можно заключить о равнобедренности. Стоит ли описывать?

-- 06.01.2017, 21:46 --

Лукомор в сообщении #1182295 писал(а):

Для подобных треугольников $ABC$ и $KAC$ должно одновременно выполняться $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{5}{6}$, что невозможно.

Спасибо!

[NL0]

(Оффтоп)

:lol: Гадать на треугольнике по стороне в канун Рождества - нехорошо=)

[Лукомор]

NL0 в сообщении #1182358 писал(а):

(Оффтоп)

:lol: Гадать на треугольнике по стороне в канун Рождества - нехорошо=)

(Оффтоп)

Конечно нехорошо!
Треугольник-то - первоапрельский!!!