2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 real solution
Сообщение06.01.2017, 09:53 


30/11/10
227
number of real solution of $4\cos (e^x) = 2^x+2^{-x},$ given $\ln(2\pi)<\log_{2}(2+\sqrt{3})<\ln(3\pi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: real solution
Сообщение06.01.2017, 11:33 


11/07/16
801
В наше время такие задачи являются анахронизмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: real solution
Сообщение06.01.2017, 12:30 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Markiyan Hirnyk,
То, что Вы смухлевали и подсмотрели график в вольфраме $-$ это Ваша личная проблема, хехе.

 Профиль  
                  
 
 Re: real solution
Сообщение06.01.2017, 13:53 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
$f(x) = 4\cos{e^x}$
$g(x) = 2^x + 2^{-x}$

$f(0) > g(0)$. Действительно:
$$\cos(1) > \cos (\pi/3) = 1/2.$$

При $x\to -\infty$ функция $f(x)$ стремится к $4$, а другая неограниченно растет. Принимая во внимание предыдущее утверждение, получим, что слева нуля есть такое $x_1$, что $f(x_1)=g(x_1)$.

Дальше рассматриваем экстремумы функции $f(x) -$ точки $\ln{\pi}$, $\ln{2\pi},\ldots$ В первой из них $f(x)$ отрицательна, а $g(x)$, как видно, всегда положительна. Значит, между нулем и $\ln{\pi}$ есть еще один корень $x_2$.

То, что между найденными корнями нет еще одного корня доказывается муторно: надо расписать производные и получить противоречие с тем, что между двумя корнями лежит корень производной. Если бы там был третий корень, то производная обнулялась бы сразу в двух точках, что невозможно.

То, что между $x_2$ и $\ln{\pi}$ нет корней выводится сразу же из соображений возрастания/убывания,

Итак, идем дальше: рассматриваем $x = \ln{2\pi}$. В этой точке $f(x) = 4$, и:
$$2^{\ln{2\pi}} < 2+\sqrt 3,$$
$$2^{-\ln{2\pi}} < 2-\sqrt 3, $$
так что $g(x) < f(x)$. Отсюда следует, что между $\ln{\pi}$ и $\ln{2\pi}$ есть еще один корень $x_3$.

Между $\ln{2\pi}$ и $\ln{3\pi}$ функция $f(x)$ убывает до отрицательных значений, а ее напарник, наоборот, растет; они пересекаются где-то в еще одной точке $x_4$ между $\ln{2\pi}$ и $\ln{3\pi}$.

Точки правее $\ln{3\pi}$ рассматривать нет смысла, так как
$$g(x) = 2^x+2^{-x} > (2+\sqrt 3)+(2-\sqrt 3) = 4.$$
А его собрат по модулю всегда меньше $4$.

Получается, есть $4$ решения. Если бы я умел решать такие уравнения, как: $$2\ch({ie^x}) = \ch(x\ln{2}),$$ то я решил бы по-другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: real solution
Сообщение06.01.2017, 20:54 


11/07/16
801
Вы пишите
Цитата:
При $x\to -\infty$ функция $f(x)$ стремится к $4$, а другая неограниченно растет. Принимая во внимание предыдущее утверждение, получим, что слева нуля есть такое $x_1$, что $f(x_1)=g(x_1)$.
Отсюда без дополнительных рассуждений не следует единственность $x_1.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group