2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Порядок производной
Сообщение02.01.2017, 20:01 


07/10/06
70
В настоящее время известно обобщение интегрирования и дифференцирования на дробный порядок, в частности в форме Римана-Лиувиля
$ (I^{\alpha}_{a+}\varphi )(x)=\frac {1} {\Gamma(\alpha)} \int\limits_{a+}^{x} \frac {\varphi(t)} {(x-t)^{1-\alpha}}dt$
В связи с этим возникает ряд вопросов:
1.
Можно ли рассматривать порядок интегрирования или дифференцирования как независимую переменную величину или в как некоторую функцию от того же аргумента
$ \alpha=f(x)$
Если для простоты взять
$\varphi(x)=e^{kx}$
и для любого $ \alpha$
$ (I^{\alpha}_{-\infty}\varphi )(x)=k^{-\alpha}e^{kx}$
и учитывая непрерывность перейти к пределу
$ \alpha \to f(x)$
Можно ли из этого записать
$ (I^{f(x)}_{-\infty}\varphi )(x)=k^{-f(x)}e^{kx}$

2
Пусть
$ (I^{\alpha}_{a+}\varphi )(x)=\psi(x)$
Существует ли функция, которая по известным $ \varphi(x)$, $ \psi(x)$ и $ {a+}$ возвращает $ \alpha$
$ Ir(\varphi(x), \psi(x), a+)=\alpha$
Если технически для постоянной $ \alpha$ это можно свести к взятию Фурье образов от $ \varphi(x)$ и $ \psi(x)$ и далее к алгебраическим действиям, то для случая $ \alpha=f(x)$ этот способ не подходит, поскольку преобразование Фурье должно действовать и на $ \alpha=f(x)$

3.
Вообще говоря любую функцию можно рассматривать как действие некоего оператора или группы операторов на аргумент, в качестве которого может выступать другая функция, в частности это может быть многократное действие на аргумент одного и того же оператора
$ (A^{n}\varphi )(x)=\psi(x)$
соответственно встают вопросы о обобщении порядка действия оператора $ n$ на нецелые числа, а переменную величину и некоторую функцию, а также о нахождении $ n$ из уравнения $ (A^{n}\varphi )(x)=\psi(x)$ по известным $ \varphi(x)$, math]$ \psi(x)$[/math] и при известном $ A$, то есть о существовании некой функции $ Ar(\varphi(x), \psi(x))=n$ (одним из примеров такой функции очевидно является логарифм). При этом свойства функции $ Ar$ будут определяться оператором $ A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок производной
Сообщение08.01.2017, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18212
Уфа
Три А,да в сообщении #1181480 писал(а):
соответственно встают вопросы о обобщении порядка действия оператора $ n$ на нецелые числа
Это возможно не для любых операторов так же как и дробная композиция обычных функций от чисел. К тому же даже на отрицательные целые вы многократную композицию необратимой функции не обобщите.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group