Доказательство теоремы Манна из книги Гельфонда и Линника

[fractalon]

Изучаю книгу "Элементарные методы в аналитической теории чисел", там на стр. 13-19 доказывается теорема Манна о том, что $d(A+B) \ge \min(d(A)+d(B), 1)$, где $d(A) = \inf \limits_{n \to \infty} \frac{|A \cap \left\lbrace{1, \dots, n}\right\rbrace|}{n}$ и $A+B=\left\lbrace{a+b : a \in A, b \in B}\right\rbrace$

И мне кажется, что в этом доказательстве есть очень явная ошибка, что странно для первых страниц такой серьёзной монографии, так что прошу меня образумить и объяснить, почему там всё верно.

Там в ходе доказательства основной леммы при фиксированном $n$ рассматривается свойство "нормальности" множества $C=A+B$ заключающееся в том что для $c, c' \not \in C$ всегда $c+c'-n \not \in C$. Для "нормальных" множеств лемма там выводится тривиально, а для "ненормальных" строится расширение множеств $B$ и $C$ следующим образом:
обозначим за $\beta_0$ минимум по $b$ из всех решений уравнения $c+c'-n=a+b$, где $c, c' \in C \cap (0,n), a \in A, b \in B$
Тогда $C^{*}$ определяется как все возможные $c$ из решений уравнения $c+c'-n=a+\beta_0$ при $c, c' \not \in C, a \in A$ и $c, c', a \in (0,n)$. Тут важно обратить внимание на ограничение $c, c' \in (0,n)$, которое дальше в доказательстве в одном месте используется, а в другом принципиально забывается (и таким образом в $C^{*}$ оказываются элементы не подпадающие под ограничение).
$B^{*}$ определяется как $B^{*}=\left\lbrace{n+\beta_0-c : c \in C^{*}}\right\rbrace$.
Расширениями соответственно являются $B_1 = B \cup B^{*}$ и $C_1 = C \cup C^{*}$.

Так вот дальше начинается самое интересное, потому что автор (Хинчин) начинает доказывать, что $A+B_1=C_1$. Для этого конечно рассматриваются $a \in A, b^{*} \in B^{*}$ и говорится, что, по определению, $a+b^{*}=a+(n+\beta_0-c)$ для $c \not \in C$. Ну и для доказательства $A+B_1=C_1$ надо доказать, что если $a+b^{*} \not \in C$, то $a+b^{*} \in C^{*}$.
Делается это так:
$c'=a+(n+\beta_0-c)$
$c'+c-n=a+\beta_0$
И из того что $c'$ удовлетворяет последнему равенству, и $c' \in C$ якобы "по определению" следует $c' \in C^{*}$. Но для $c' \in C^{*}$ по определению требуется ещё и $c' \in (0,n)$ (и, повторюсь, эта часть определения $C^{*}$ в дальнейшем используется в доказательстве) и абсолютно не очевидно, что $a+(n+\beta_0-c)$ должно находится в интервале $(0,n)$.
Более того, я решил попробовать построить контрпример, в котором оно не находилось бы в этом интервале.
И мне кажется что у меня получилось.
$A=\left\lbrace{0,1,50, 1000, 1001, 1002, \dots}\right\rbrace$
$B=\left\lbrace{0,1,10,1000,1001,1002, \dots}\right\rbrace$
При $n=15$ тут получается
$\beta_0=0$
$C^{*}=\left\lbrace{3,4,6,7,8,9,12,13}\right\rbrace$
$B^{*}=\left\lbrace{2,3,6,7,8,9,11,12}\right\rbrace$
И тогда $50 \in A$, $12 \in B^{*}$, $62 \not \in C^{*}$

В общем если взять $a > n$, то ясным образом выходит $c' > n$. И получаем $A+B_1 \not = C_1$

Помогите, пожалуйста, разобраться.