не могу понять запись по вероятности

[Sasha_Gu]

Доброго дня, уважаемые форумчане! Помогите, пожалуйста, понять запись:
$P\left( \left{\omega : X(\omega ) = Y(\omega ) = 1\right} \right) = P\left( \left{\omega : X(\omega ) = -Y(\omega ) = 1\right} \right) = P\left( \left{\omega : X(\omega ) = Y(\omega ) = 0\right} \right) = \frac{1}{3}$

Нужно показать, что корреляция равна 0, но $X$ и $Y$ зависимы.
Но суть не в этом)
Сначала нужно составить ряд распределения
Для $X$ ряд такой:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X$ &$1$& $1$& $0$ \\ \hline &$\frac13$ &$\frac13$ &$\frac13$ \end{tabular}$

,ну, или

$\begin{tabular}{c|c|c} $X$ &$0$& $1$ \\ \hline &$\frac13$ & $\frac 23$ \end{tabular}$

Для $Y$ тоже нужно составить ряд распределения... но мешает минус перед Y.

Вопрос: Как понять - $P\left( \left{\omega : X(\omega ) = -Y(\omega ) = 1\right} \right)$ ? Что означает минус перед $Y$ ?
Или как написать ряд распределения для $Y$ ?

Спасибо заранее!
p.s.: доллар к формулам добавлен))

[Lia]

1) Совместное распределение составляйте, остальное потом.
2)

Sasha_Gu в сообщении #1181307 писал(а):

Что означает минус перед Y?

Он означает, что минус игрек равен единице. Чему ж игрек-то равен?

[Sasha_Gu]

1) Совместное распределение будет такое:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X,Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \hline $1$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \hline $0$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \end{tabular}$

ну, или так еще можно записать:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X,Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac29$ &$\frac29$ &$\frac29$ \\ \hline $0$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \end{tabular}$

2) неужели так))):

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline &$\frac13$ &$\frac13$ &$\frac13$ \end{tabular}$

[Lia]

А ниче, что сумма вероятностей много больше единицы у этого распределения?

Вам совершенно явственно сказано, какие значения принимает вектор $(X,Y)$ с ненулевыми вероятностями (сколько их, таких значений вектора?). Вот на это и надо смотреть.

[Sasha_Gu]

Lia в сообщении #1181317 писал(а):

А ниче, что сумма вероятностей много больше единицы у этого распределения?

Упс, исправлено)

[Lia]

Плохо исправлено. Так сколько значений принимается вектором с ненулевыми вероятностями?

[Sasha_Gu]

Итак, попытка вторая, вот это нам дано:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X/Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac13$ &$0$ &$\frac13$ \\ \hline $0$ &$0$ &$\frac13$ &$0$ \\ \end{tabular}$

Следовательно, ряды распределения для случайных величин $X$ и $Y$:

$\begin{tabular}{c|c|c} $X$ &$1$& $0$ \\ \hline &$\frac23$ & $\frac13$ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $Y$ &$-1$& $0$ & $1$\\ \hline &$\frac13$ &$\frac13$ & $\frac13$ \end{tabular}$

Матрица распределиния при условии если $X$ и $Y$ независимы:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X/Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac29$ &$\frac19$ &$\frac29$ \\ \hline $0$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \end{tabular}$

Т.к. данная матрица и вычисленная нами отличаются, то переменные зависимы.

[Lia]

Sasha_Gu в сообщении #1181324 писал(а):

Матрица распределиния при условии если $X$ и $Y$ независимы:

Что-то в ней поломалось. Сумму считать должно быть рефлексом.
Это раз.

Ну а главное, не надо ее. Надо проверять по определению. Должно сразу же получаться.

Но совместное распределение теперь правильно написано.

[Sasha_Gu]

Опишу ход мыслей, чтобы не возникало недоразумения и непонимания:

1) Дана матрица распределения:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X/Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac13$ &$0$ &$\frac13$ \\ \hline $0$ &$0$ &$\frac13$ &$0$ \\ \end{tabular}$

Спрашивается, являются ли $X$ и $Y$ зависимыми, несмотря на то, что коэфициент корреляции равен 0.

2) Для этого находим ряды распределения $X$ и $Y$:

$\begin{tabular}{c|c|c} $X$ &$1$& $0$ \\ \hline &$\frac23$ & $\frac13$ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $Y$ &$-1$& $0$ & $1$\\ \hline &$\frac13$ &$\frac13$ & $\frac13$ \end{tabular}$

3) По определению независимой вероятности (правило умножения):

Находим матрицу распределения $X$ и $Y$:

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X/Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac29$ &$\frac19$ &$\frac29$ \\ \hline $0$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \end{tabular}$

4) И теперь, если обе матрицы одинаковые, то переменные независимы, иначе - зависимы.

Вопрос: я что-то понимаю не так?

[Lia]

Sasha_Gu в сообщении #1181332 писал(а):

3) По определению независимой вероятности (правило умножения):

Находим матрицу распределения $X$ и $Y$:

У Вас там суммарная вероятность какая? Недоразумений и так не было, было недоумение.
Вы же знаете определение независимых с.в. Скажите, пожалуйста.

[Sasha_Gu]

Lia в сообщении #1181333 писал(а):

У Вас там суммарная вероятность какая? .

Единица.

$\begin{tabular}{c|c|c|c} $X/Y$ &$-1$& $0$& $1$ \\ \hline $1$ &$\frac29$ &$\frac29$ &$\frac29$ \\ \hline $0$ &$\frac19$ &$\frac19$ &$\frac19$ \\ \end{tabular}$

(*В 1ой строке была ошибка).

Lia в сообщении #1181333 писал(а):

Вы же знаете определение независимых с.в.

Независимы с.в. - $X$ и $Y$ являются таковыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приобрела другая.

[Lia]

Sasha_Gu в сообщении #1181342 писал(а):

Независимы с.в. - $X$ и $Y$ являются таковыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приобрела другая.

Ага, независимая и гордая.
Ищите определение. Для дискретных хотя бы. А то вторая Ваша таблица непонятна вовсе.

[Sasha_Gu]

Lia в сообщении #1181343 писал(а):

Ищите определение. Для дискретных хотя бы.

А не подскажете, пожалуйста, каким учебником вы обычно пользуйтесь, и откуда берете определения?

[Lia]

А Вы? Я определения из головы беру, они там давно. :)
Гмурмана почитайте для начала. А вообще - любой нормальный учебник. А не первую попавшуюся ссылку в поисковике.

[Sasha_Gu]

Lia в сообщении #1181353 писал(а):

А Вы? Я определения из головы беру, они там давно. :)
Гмурмана почитайте для начала. А вообще - любой нормальный учебник. А не первую попавшуюся ссылку в поисковике.

Обычно справляюсь в Венцель, прошлое определение было как раз из пресловутой первой ссылки с поисковика.

В Гмурмане проблема в том, что определения как такового (под заголовком "Определение №...") не нашлось. Читаем параграф "Зависимые и независимые случайные величины" - "2 случайные величины независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина". Я, кажется, это же и проверяю...