2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение01.01.2017, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Вас обозначение сбивает. Просто подумайте, что такое стоит под интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение01.01.2017, 01:34 
Аватара пользователя


10/12/11
1283
Москва
Erleker в сообщении #1181234 писал(а):
Что и как?Надо же, чтобы смысл был, чтобы полученной по каким-то соображением именно с $r_{g}$ отождествлялось.

Вы проинтегрировали плотность вещества в собственной системе отсчета (103.11) из ЛЛ-2 и получили: $F(R_0)-F(0)=2MG/c^2$
Что вас смущает? $M$- масса частиц-пылинок.

Я понял, что вас смущает. Вам надо перейти от синхронной системы координат в шварцшильдовскую. Это сделано у Оппенгеймера-Снайдера, но там запутаетесь.
Лучше у Вайнберга на стр. 372. Далее сшиваются все 4 компоненты метрики с вакуумной метрикой Шварцшильда на границе вещества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение01.01.2017, 12:41 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Да, получили мы подобное выражение.
schekn в сообщении #1181237 писал(а):
Что вас смущает? $M$- масса частиц-пылинок.

Объясните, почему это так.Почему этот интеграл $M$ должен быть отождествлен с гравитационной массой?
schekn в сообщении #1181237 писал(а):
Вам надо перейти от синхронной системы координат в шварцшильдовскую. Это сделано у Оппенгеймера-Снайдера, но там запутаетесь.
Лучше у Вайнберга на стр. 372. Далее сшиваются все 4 компоненты метрики с вакуумной метрикой Шварцшильда на границе вещества.

Спасибо, посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение01.01.2017, 13:48 
Аватара пользователя


10/12/11
1283
Москва
Erleker в сообщении #1181258 писал(а):
Спасибо, посмотрю.

Подумал, что можно еще проще. В рамках ЛЛ-2 по формуле (103.11) плотность обращается в ноль, когда $F=\operatorname{const}=F(R_0)$
То есть получаете вакуумное решение в синхронных координатах. Можете положить для простоты $f(R)=0$. А далее перейти к стандартным координатам Шварцшильда и найти постоянную $F(R_0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение02.01.2017, 18:59 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Можно вообще проще, если считать гравитационную массу аддитивной.
Вообще я понял, как можно сразу получить это решение с физическим смыслом, считая что внешняя пыль не действует.
Из З.С.Э ($mc^2\sqrt{1-r_{g}/r}/\sqrt{1-v^2/c^2}=E= \operatorname{const} $) находим локальную скорость изменения $r$ по собственному времени частицы $T$:
$(\frac{dr}{cdT})^2=\dfrac{v^2(1-r_{g}/r)}{c^2(1-v^2/c^2)}=((E/mc^2)^2-1)+r_{g}/r$
Каждой частице дадим метку $R$ (Это какая-то функция от радиуса $r_{1}$, на котором частица находится в некоторый фиксированный момент времени $T$).
Ищем метрику в координатах $R,T$:
Ясно, что $g_{00}=1$ и перед углами множитель $r(T,R)$.
$g_{11}$ можно быстро найти, зная что это слагаемое - интервал между одновременными событиями $dT=0$ на 2-х частицах.
Тогда этот интервал есть собственная длина:
$dl=\sqrt{1-v^2/c^2}dr/\sqrt{1-r_{g}(R)/r}=\sqrt{g_{11}}dR$
Или, обобщая ($(dT=0)$):
$\sqrt{1-v^2/c^2}\dfrac{\partial r(T,R)}{\partial R}dR/\sqrt{1-r_{g}(R)/r}=\sqrt{g_{11}}dR$
Откуда:
$g_{11}=\dfrac{\partial r(T,R)}{\partial R}/(E/mc^2)^2$
Принимаем по определению $F(R)=r_{g}(R)$ - гравитационный радиус в-ва под данным слоем.
$f(R)=(E/mc^2)^2-1$ - функция от удельной энергии слоя пыли/ "разброс" скоростей.
И приходим к:
$ds^2=c^2dT^2-\dfrac{(\dfrac{\partial r(T,R)}{\partial R})^2}{1+f(R)}dR^2-r^2(T,R)(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\varphi^2)$
$(\dfrac{\partial r(T,R)}{\partial T})^2=f(R)+\frac{F(R)}{r}$
Так как в центре шара у нас $F=0$, то общая гравитационная масса у нас $r_{g}=F(R_0)$ - на границе.

-- 02.01.2017, 20:06 --

Странно, что нигде в учебниках не был дан физический смысл этих функций, что $f$ это $(E/mc^2)^2-1$, хотя НФ на ее связь с энергией косвенно указывали.

-- 02.01.2017, 20:16 --

schekn,и согласитесь, что в ЛЛ-2 в 103 эта формула было получена как-то неверно, поскольку плотность же в координатах $R$,$T$.Эта какая-то "подгонка" под ответ:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение03.01.2017, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Erleker в сообщении #1181465 писал(а):
Странно, что нигде в учебниках не был дан физический смысл этих функций

Странно, везде был дан...

Erleker в сообщении #1181465 писал(а):
поскольку плотность же в координатах $R$,$T$

Вот заладили! Да она одним множителем (присутствующим в формуле!) отличается от бескоординатной!

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение03.01.2017, 12:21 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Munin в сообщении #1181580 писал(а):
Erleker в сообщении #1181465 писал(а):
Странно, что нигде в учебниках не был дан физический смысл этих функций

Странно, везде был дан...

Я про то, что $f(R)=(E/mc^2)^2-1$.Разве это где-то есть?
Munin в сообщении #1181580 писал(а):
Вот заладили! Да она одним множителем (присутствующим в формуле!) отличается от бескоординатной!

Объясните.

-- 03.01.2017, 13:39 --

Правая часть после равенства верная, а левая (где интегрируется по $r$) из 100-го - там не к месту, они не равны(это ошибка, потому что в одном интеграле подразумевается $dt=0$, а в другом $dT=0$, а это существенно, поскольку у нас пыль эволюционирует).
Можно было из уравнений поля по таким же соображением(как 100-м для Шварцшильда) заново получить эту формулу уже для этого решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение03.01.2017, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Erleker в сообщении #1181642 писал(а):
Я про то, что $f(R)=(E/mc^2)^2-1$.Разве это где-то есть?

Зачем писать банальность, если её в другом виде уже написали?

Erleker в сообщении #1181642 писал(а):
Объясните.

Когда вы начнёте интегрировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение03.01.2017, 14:01 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Munin в сообщении #1181667 писал(а):
Когда вы начнёте интегрировать?

Так я же уже убедился, почему это так.
$M=4\pi\int\limits_{0}^{R_{0}}r^2p\frac{\partial r}{\partial R}dR=c^2(F(R_{0})-F(0))/2G=c^2F(R_{0})/2G$ - это ясно.
Но это выражение не равно:
$4\pi\int\limits_{0}^{r}pr^2dr$

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение04.01.2017, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Во-первых, плотность набирается буквой $\rho.$

Во-вторых, $\dfrac{\partial r}{\partial R}dR=dr.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение04.01.2017, 16:53 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Нет, в общем случае $\dfrac{\partial r}{\partial R}dR+\dfrac{\partial r}{\partial T}dT=dr.$Одновременность разная вообще-то и это существенно.Первый интеграл одновременен по $t$.Посмотрите его вывод в 100-м.
Да и центр шара необязательно в $r=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение05.01.2017, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Erleker в сообщении #1181869 писал(а):
Нет, в общем случае $\dfrac{\partial r}{\partial R}dR+\dfrac{\partial r}{\partial T}dT=dr.$

А в данном частном?

Erleker в сообщении #1181869 писал(а):
Да и центр шара необязательно в $r=0$.

А в данном частном случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение05.01.2017, 13:18 
Аватара пользователя


16/09/15
203
Ну так они же не написали $r(R,T)$, а использовали формулу из 100, где интеграл берется по $dt=0$ , а не $dT=0$.
И так это же решение для материи вообще, а центр шара может быть в другой $R$- области, не на $r=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение05.01.2017, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60599
Erleker в сообщении #1182034 писал(а):
Ну так они же не написали $r(R,T)$

Они рассчитывали, что у читателя собственных мозгов хватит. В книгах такого уровня подобные мелочи обычно не разжёвываются. Подразумевается, что это для читателя не сложнее, чем дышать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Масса в пылевидном решении (ОТО).
Сообщение05.01.2017, 15:56 
Аватара пользователя


16/09/15
203
:lol: Вы, похоже, совершенно не понимаете, о чем я...
Нет, ну я конечно понимаю, что я не очень умный, но не надо пожалуйста принимать меня за дурака!
Перечитайте мои сообщения и поймите, что я имел ввиду.

-- 05.01.2017, 16:57 --

Они написали согласно 100,23, значит они автоматически использует эту формулу, где по $r$ интеграл берется одновременно по $t$.То есть подразумевается $r(t,R)$ , а не $r(T,R)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group