Нюансы интерпретации

[Sinoid]

Здравствуйте! Вот смотрите. В некоторой формальной теории $\mathcal{T}$ написана формула $a=b+c$, где $a,\,b,\,c$ - некоторые объекты одной и той же формальной теории $\mathcal{T}$. Эта формула же не будет считаться интерпретацией объекта $a$ ?

[arseniiv]

Ой-ой-ой. Но для правильных комментариев мне нужно узнать, что Клини называет формальной теорией. Я сейчас загляну в него, но если вам нетрудно, скажите, на какой странице он её определяет.

[Sinoid]

стр. 60.

[arseniiv]

Ну, вообще-то, несмотря на предметный указатель, нормальные определения начинаются только в следующей главе. В общем, спасибо ему и вам, я вижу, что под формальной теорией/системой Клини здесь понимает соединение двух обычно отдельных вещей: языка (первого порядка) и аксиоматической теории. Язык первого порядка определяется набором внелогических (функциональных и предикатных) символов, которые могут входить в формулы, принадлежащие ему. Обычно он определяется или как набор этих символов, или как такое множество формул, и тогда набор символов зовётся сигнатурой. Для определения интерпретации формул языка достаточно только сигнатуры, а аксиоматическая теория ничего не добавляет. (Для определения модели нужна теория, но не обязательно аксиоматическая — просто множество формул, замкнутое относительно логического следования, которое определяется через интерпретацию.)

Итак, я буду понимать ваш вопрос как «в некотором языке первого порядка [в сигнатуру которого, очевидно, входят $=$ и $+$] взяли формулу $a = b + c$…», и тут, во-первых, возникает вопрос, константный символ или переменная каждая из букв $a, b, c$, т. к. их интерпретация отличается. Во-вторых, не знаю, какой ответ на ваш вопрос лучше — да или нет. Да в том смысле, что область интерпретации мы можем выбрать какую угодно, в том числе включающую формулу $a = b + c$ как элемент. Нет в том смысле, что на что-то вменяемое это распространить не получится, и вместо интерпретации вам, возможно, интересны расширения теорий определением.

-- Чт дек 29, 2016 20:53:01 --

Иначе говоря, как вы думаете, как определяется интерпретация?

-- Чт дек 29, 2016 21:20:27 --

Нет, «Введение в метаматематику» — это всё-таки та ещё книга, чтобы начинать с неё, по-моему. Я так и не нашёл «чистого», не разбросанного по куче абзацев в словах определения интерпретации (если его знаешь, то можно его там «найти», да). Попробуйте читать эту книгу параллельно с чем-нибудь ещё всё-таки. Вроде бы вы говорили, что Верещагин, Шень «Языки и исчисления» у вас не пошла, но попробуйте ещё раз. И Мендельсона «Введение в математическую логику». И Манина там.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

Да в том смысле, что область интерпретации мы можем выбрать какую угодно, в том числе включающую формулу $a = b + c$ как элемент.

Отрывок из Клини (стр. 62):

Так что, скорее всего, он не подразумевает выбирать такие большие области интерпретации. Получается, что, во всяком случае пока, подразумевается, что объекты формализуемой системы отличаются от объектов построенной формальной системы, так что в этом свете

Sinoid в сообщении #1180837 писал(а):

$b+c$,

не будет интерпретацией для

Sinoid в сообщении #1180837 писал(а):

$a$,

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

Иначе говоря, как вы думаете, как определяется интерпретация?

Ответ на этот вопрос на снимке.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

Нет, «Введение в метаматематику» — это всё-таки та ещё книга, чтобы начинать с неё, по-моему.

Если вы помните, мне Someone посоветовал читать Клини, Математическая логика, а там много ссылок на его "Введение в метаматематику". Неужели он мог посоветовать что-то не то?

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

Вроде бы вы говорили, что Верещагин, Шень «Языки и исчисления»

я говорил про книгу тех же авторов "Начала теории множеств", да даже если и

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

Верещагин, Шень «Языки и исчисления»

все равно, наверняка, детская. И что это даст? Я одну детскую уже прочитал- "Беседы о множествах", если я не ошибаюсь, но такие ведь книжечки не дадут серьезных знаний. Просто между этими книгами непреодолимый разрыв.

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

И Манина там.

Да там написано, что читать неудобно, половина книги от руки и текст какой-то размытый. Или в буковки вглядываться, или в смысл вникать.

arseniiv в сообщении #1180844 писал(а):

И Мендельсона «Введение в математическую логику».

А там есть примеры, связанные там, с топологическими пространствами или с другими вещами, о которых я не знаю (ну, вы понимаете), а то одно тоже "Введение в метаматематику" открыл, полистал, полистал и благополучно закрыл.

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1180873 писал(а):

Если вы помните, мне Someone посоветовал читать Клини, Математическая логика, а там много ссылок на его "Введение в метаматематику". Неужели он мог посоветовать что-то не то?

"Математическая логика" Клини это изложенное для студентов "Введение в метаматематику", ссылки там на более подробное рассмотрение того же вопроса в основном.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1180857 писал(а):

Получается, что, во всяком случае пока, подразумевается, что объекты формализуемой системы отличаются от объектов построенной формальной системы

У формальной системы вообще нет объектов. Объекты есть только в областях интерпретаций, а неизоморфных интерпретаций часто не одна.

(На свой страх и риск.)

Вообще если говорить только об интерпретации термов, но не формул, то есть одна естественная интерпретация, в которой термы сопоставляются сами себе: каждый $n$-местный функциональный символ $f$ интерпретируется как функция на множестве термов $I(f)\colon T^n\to T$ такая, что $I(f)(t_1,\ldots,t_n) = f(t_1,\ldots,t_n)$ (справа терм, а не применение функции, т. к. $f$ не функция). Тогда $I(a+b) = a+b$, если $a,b$ — константы. Но (1) разные термы будут интерпретироваться всегда, разумеется, по-разному, и $I(a)=I(b+c)$ не будет, и (2) предикатные символы подобным образом без добавления чего-то ещё интерпретировать не получится, так что интерпретации в нормальном смысле этого слова, сопоставляющей и формулам значения истинности, у нас нет.

Sinoid в сообщении #1180857 писал(а):

Ответ на этот вопрос на снимке.

Ну, к сожалению, это не определение. Если читать дальше, можно сформировать это понятие в голове, но придётся прочитать довольно много.

Sinoid в сообщении #1180873 писал(а):

Я одну детскую уже прочитал- "Беседы о множествах", если я не ошибаюсь, но такие ведь книжечки не дадут серьезных знаний.

Разный уровень у них, не волнуйтесь. А кидаться сразу в бездну — это весьма разумно, ага.

Sinoid в сообщении #1180873 писал(а):

Да там написано, что читать неудобно, половина книги от руки и текст какой-то размытый. Или в буковки вглядываться, или в смысл вникать.

А вы откройте «Доказуемое и недоказуемое», например. Есть ли «Лекции…» в печатном виде, не в курсе, но эта книга удобная в этом смысле точно.

Sinoid в сообщении #1180873 писал(а):

А там есть примеры, связанные там, с топологическими пространствами или с другими вещами, о которых я не знаю (ну, вы понимаете)

Можно на первый раз их пропустить. Тем более раз это примеры, а не что-то более неотделимое от изложения. Не, примеры нужны, конечно, но читаем-то не один раз и не одну книгу.

Просто сравните, вдруг есть толк. Ну и раз вам советовали именно «Математическую логику» Клини, присоединяюсь, не всегда надо начинать обходить граф ссылок ещё перед дочитыванием. По-моему, там понятнее про интерпретацию написано.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1180914 писал(а):

У формальной системы вообще нет объектов.

Я знаю, я имел ввиду символы формальной теории.

arseniiv в сообщении #1180914 писал(а):

А кидаться сразу в бездну — это весьма разумно, ага.

Просто столько еще нужно охватить помимо логики.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1181008 писал(а):

Я знаю, я имел ввиду символы формальной теории.

Ясно. Ну, интерпретация ф. и п. символов задаётся произвольно, лишь бы была сначала выбрана область и арности символов и соответствующих им операций/отношений совпадали.