Уравнения Лагранжа и принцип Мопертюи

[SurovM]

Разбираюсь со статьёй orthogonal geodesic chords, brake orbits and homoclinic orbits in riemannian manifolds. Не совсем понимаю введённые обозначения и как получили формулу (4.2).


Собственно, что такое $g(\nabla V, W)$? Это должен быть либо ковариантный тензор второго ранга, либо обратный ему -- контрвариантный. Здесь же первый аргумент -- ковектор, второй -- вектор. То есть, получается смешанный тензор.
Если продифференцировать подынтегральное выражение, то получается что-то в духе $-\left(\nabla_{W}V\right)g\left(\dot{x},\dot{x}\right)+\left(E-V\right)\nabla_{W}g\left(\dot{x},\dot{x}\right)$.
Сравнивая с тем, что у них получилось, можно сделать вывод, что $g^i_j$ -- это просто $\delta$-символ: $\delta^i_j = g^i_j = g^{ik} g_{kj}$.

Но всё равно не ясно как получилось первое слагаемое.

[scwec]

В статье формулы написаны верно.
Первое слагаемое выглядит так, поскольку $g(\dot x,\nabla_W{\dot x})=g(\nabla_W{\dot x},\dot x)=g(\nabla_{\dot x}W,\dot x)=g(\frac{DW}{dt},\dot x)$
По второму слагаемому - надо иметь в виду, что вектор $\nabla{V(x)}$ -это градиент функции $V(x)$ и по определению $g(\nabla{V},W)=W(V)$.
(В локальных координатах $\nabla{V}=\sum{g^{ij}}\frac{\partial{V}}{\partial{x^j}}\frac{\partial}{\partial{x^i}}$).

[SurovM]

Первое слагаемое у меня такое же с точностью до последнего действия. Действительно, получается $g\left(\dot{x},\nabla_{W}\dot{x}\right) $. Далее не ясно, ведь $W$ -- произвольное векторное поле, а $x$ -- вполне конкретная кривая.

Но ведь оператор $\frac{DW}{dt}$ -- производная векторного поля вдоль кривой, которой порождается это векторное поле, т.е. локально существует кривая $\gamma : t \mapsto \mathcal{M}$, что $W = \dot{\gamma}^i(t) e_i$. И, соответственно, производная считается по параметру $t$. А тут кривая и поле совершенно произвольные.

Второе слагаемое в принципе ясно. То есть запись $\nabla V$ может означать как ковекторное поле, так и дуальное ему векторное.. верно? Просто сама по себе запись несколько вводит в заблуждение из-за своей громоздкости. Тут ведь просто свёртка ковекторного поля с векторным, но записано через свёртку с метрическим тензором.

[scwec]

SurovM в сообщении #1181056 писал(а):

Но ведь оператор $\frac{DW}{dt}$ -- производная векторного поля вдоль кривой, которой порождается это векторное поле

Немного не так. Кривая не порождается этим векторным полем на ней.
Всё происходит на кривой $x(t)$ c касательным векторным полем $\dot x$.
И $\nabla_{\dot x}=\frac{D}{dt}$ на этой кривой, т.е. $\frac{DW}{dt}=\nabla_{\dot x}W$ для произвольного $W$.

[SurovM]

Да, похоже я неверно понимаю определение этого оператора

Carmo - Riemannian Reometry


С другой стороны, как по самой этой записи $\frac{D}{dt} V$ можно определить вдоль какой кривой берётся производная? В этом плане, запись $\nabla_{\dot{c}(t)} V$ более содержательна.