2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 10:33 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
Две пылевые концентрические близкорасположенные друг к другу сферы с радиусами $r_1$ и $r_2$ и одинаковой массы $m$ под действием собственного гравитационного поля начинают движение к центру из состояния покоя.

Необходимо в рамках Ньютоновской теории найти :

1. Примерное место пересечение сфер $r=r_p$
2*. Будет ли второе пересечение $r=r_s$ и если будет, то оценить где (столкновениями частиц пыли пренебречь)

Учесть, что $1\gg(r_2-r_1)/r_1$ и $r_1\gg{mG/c^2}$

P.S. Первую задачу я решил и как мне кажется правильно. На второй вопрос я до конца не смог ответить, но мне кажется он выходит за рамки олимпиадности. Я его оставил на всякий случай, вдруг есть оригинальное решение.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 13:34 


05/09/16
793
А в чем олимпиадность?
Внутренняя сфера будет сжиматься так, как будто внешней нет (теорема Ньютона) то есть для каждой точки внутренней сферы сила тяжести будет такой же, как если бы сферы не было а вся масса была бы в центре, а внешняя будет сжиматься так, как будто внутренняя вся сосредоточена в центре (не знаю есть ли имя у этого явления), а раз массы одинаковы у сфер, то соответственно точки внешней сферы движутся так, как будто никаких сфер нет, а вся масса ($2m$) сосредоточена в центре.
Когда они пересекутся, внутренняя станет внешней и наоборот, и все повторится. Из условия "пылевые сферы" вытекает, насколько я понимаю, отсутствие всяких взаимодействий кроме гравитационного, в том числе отсутствие столкновений частиц. Из "ньютоновости" вытекает отсутствие всяких СТО и ОТО-эффектов и ограничений на скорости и запаздывания взаимодействий.

Тогда процесс будет колебательный -- после падения в центр сферы опять расширятся.

Если бы это были шары а не сферы, то какая-то изюминка бы наверное появилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 13:51 


27/08/16
729
wrest в сообщении #1180771 писал(а):
то есть для каждой точки внутренней сферы сила тяжести будет такой же, как если бы сферы не было а вся масса была бы в центре
Как половина массы в центре. Возможно, именно в этом и олимпиадность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 14:04 


05/09/16
793
realeugene в сообщении #1180774 писал(а):
Возможно, именно в этом и олимпиадность.

А... вон оно что...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 14:05 
Заслуженный участник


28/12/12
3822
wrest в сообщении #1180771 писал(а):
Когда они пересекутся, внутренняя станет внешней и наоборот, и все повторится.

Не совсем: будут еще начальные скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 14:20 


05/09/16
793
DimaM в сообщении #1180778 писал(а):
Не совсем: будут еще начальные скорости.

Да, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 14:32 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
wrest в сообщении #1180771 писал(а):
Тогда процесс будет колебательный -- после падения в центр сферы опять расширятся.

Скажите ответ на первый вопрос в первом приближении.
Я сравню со своим.
Вообще-то , тут я решал 2 раза дифференциальное уравнение и делал разложение в ряд Тейлора. Это конечно может не для всех олимпиадность, но требует аккуратности.
А вот про колебательный процесс - тут вопрос у меня подвис, потому что второе пересечение до того, как они уже достигнут центра, уже получается численным способом, что уже не олимпиадность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 14:44 


27/08/16
729
schekn в сообщении #1180780 писал(а):
Вообще-то , тут я решал 2 раза дифференциальное уравнение и делал разложение в ряд Тейлора.
Зачем? По условию задачи расстояние между кольцами гораздо меньше их размера. До момента пересечения эти кольца пролетят небольшое расстояние вниз по радиусу. До второго - тоже. Радиус вместе с ускорением свободного падения изменится незначительно. Ускорение свободного падения каждого кольца можно считать постоянным и изменяющимся скачком при пересечении колец. Обе задачи вполне решаются школьными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 15:13 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
realeugene в сообщении #1180781 писал(а):
Зачем? По условию задачи расстояние между кольцами гораздо меньше их размера. До момента пересечения эти кольца пролетят небольшое расстояние вниз по радиусу. До второго - тоже. Радиус вместе с ускорением свободного падения изменится незначительно. Ускорение свободного падения каждого кольца можно считать постоянным и изменяющимся скачком при пересечении колец. Обе задачи вполне решаются школьными методами.

Может я перемудрил. Тогда дайте ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 15:24 
Заслуженный участник


21/09/15
541
Ну, в том приближении о котором говорит realeugene внутренняя сфера до момента первого столкновения пройдет $(r_2-r_1)/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 15:30 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
AnatolyBa в сообщении #1180784 писал(а):
Ну, в том приближении о котором говорит realeugene внутренняя сфера до момента первого столкновения пройдет $(r_2-r_1)/2$

У меня совсем другой ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 15:40 
Заслуженный участник


21/09/15
541
Вы согласны с тем, что ускорение частиц внешней сферы в три раза больше чем ускорение частиц внутренней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 16:06 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
AnatolyBa в сообщении #1180789 писал(а):
Вы согласны с тем, что ускорение частиц внешней сферы в три раза больше чем ускорение частиц внутренней?

да. Я правда решал дальше сложным путем.
У меня получилось:
$$r_p=\frac{3r_1^2-r_2^2}{3r_1-r_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 17:00 
Заслуженный участник


21/09/15
541
Так это то же самое в рассматриваемом приближении.
Я устно решал. Ускорение частицы внешней сферы относительно внутренней в два раза больше ускорения внутренней сферы.
Значит пока внешняя сфера догонит внутреннюю (т. е. пройдет относительное расстояние $r_2-r_1$) - внутренняя сфера пройдет половину от $r_2-r_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача двух сфер
Сообщение29.12.2016, 17:06 
Аватара пользователя


10/12/11
1294
Москва
AnatolyBa в сообщении #1180810 писал(а):
Так это то же самое в рассматриваемом приближении.

Я пытался учесть то, что ускорение переменное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group