2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:19 


03/11/16
60
Доброго времени суток!

Задался вопросом, что будет, если я заранее задам неверное значение предела последовательности и захочу доказать, что данное число является её пределом через определение. И получается, что определение никак меня не ограничивает. Возможно, что-то не так понимаю. Подскажите, пожалуйста.

Достаточно рассмотреть самый простой пример.

Возьму последовательность $\frac{1}{n}$ и предположу, что предел её равен 1.
Тогда $\forall \varepsilon > 0\;\exists N=N(\varepsilon) : \forall n > N \Rightarrow |\frac{1}{n}-1| < \varepsilon $.

Откуда я могу подобрать номер $n > N = \frac{1}{[\varepsilon + 1]}$

В принципе, то же самое подействует для любого числа. В связи с этим возникает предположение, что так доказывать существование предела нельзя. Хотя задачи «докажите, что предел последовательности равен ... по определению» встречаются.

Поясните, пожалуйста, в чём тут загвоздка.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:24 


05/09/16
11467
Neinstein в сообщении #1180394 писал(а):
Откуда я могу подобрать номер $n > N = \frac{1}{[\varepsilon + 1]}$

Не можете. Подберите номер для $\varepsilon=0,1$ например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Neinstein в сообщении #1180394 писал(а):
Поясните, пожалуйста, в чём тут загвоздка.

Нет никакой передгвоздки, просто вы не умеете решать простейшие неравенства с модулем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Казалось бы, конец декабря, зачёты уже должны быть сданы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:44 


03/11/16
60
wrest,

упс, не выполняется... А можно как-то заранее отслеживать возникновение подобных ситуаций? Не всегда сразу очевидно, чему равен предел той или иной последовательности. Или лучшая проверка — постараться отыскать такое значение $\varepsilon$, при котором неравенство не выполняется?

И ещё вопрос — чисто формально, если я, например, в этой же последовательности предположу, что предел — отрицательное число и тогда при некоторых значениях $\varepsilon$ выражение справа будет меньше нуля (например, если я выберу -1, справа получу $\frac{1}{\varepslion -1}$), то это всего лишь будет означать, что я для данного $\varepsilon$ (например, 0,5) могу рассматривать элементы со всеми номерами? Т.е. вообще говоря, если так получилось, что номер $n$ может принимать любые значение (т.е. в правой части неравенства число отрицательное), то это ещё не индикатор того, что что-то пошло не так, а за результат в конечном итоге отвечает соотношение между $\varepsilon$ и $N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Neinstein в сообщении #1180402 писал(а):
А можно как-то заранее отслеживать возникновение подобных ситуаций? Не всегда сразу очевидно, чему равен предел той или иной последовательности.

Так никто пределы последовательностей с помощью определения предела и не ищет. Для этого есть развитая техника, основанная на свойствах предела и нескольких канонических, базовых, пределах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела последовательности
Сообщение27.12.2016, 11:24 


05/09/16
11467
Neinstein
Мне кажется, вы не улавливаете суть определения.

Неравенство $|x_n-a|<\varepsilon$ после "раскрытия скобок" модуля и преобразований превращается в два неравенства $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$

То есть, начиная с некоторого $n>N$, зависящего от $\varepsilon$, все $x_n$ должны оказаться в интервале $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group