2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Привести к каноническому виду
Сообщение26.12.2016, 20:33 


26/12/16
16
Добрый вечер. Помогите разобрать c уравнением.

${x}^{3}\frac{{\partial}^{2}u}{\partial{x}^{2}}+{y}^{5}\frac{{{\partial}^{2}u}}{\partial{y}^{2}}+4{x}^{2}y\frac{\partial u}{\partial x}=0$ где (x>0, y<0)
Моё решение.
1. Общий вид квазилинейного уравнения 2-ого порядка.
A=${x}^{3}$, B=0, C=${y}^{5}$
${B}^{2}-AC \Rightarrow 0-{x}^{3}{y}^{5} \Rightarrow -{x}^{3}{y}^{5}$ т.к x>0, y<0 значит уравнение эллиптического типа.
2. Уравнение характеристик
$\partial y=\frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$ или $\partial y=-\frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$
Решая дифференциальное уравнение я получил выражение
$y=\frac{2i{y}^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}}+C \Rightarrow \sqrt{x}y-2i{y}^{\frac{5}{2}}=C$
3. Замена переменных
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\xi=\sqrt{x}y\\
\eta=-2{y}^{\frac{5}{2}}\\
\end{array}
\right.$$
Решая дальше я у меня получается какой-то бред. Помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение26.12.2016, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ilya_by в сообщении #1180278 писал(а):
${B}^{2}-AC \Rightarrow 0-{x}^{3}{y}^{5} \Rightarrow -{x}^{3}{y}^{5}$ т.к x>0, y<0 значит уравнение эллиптического типа.

Как узнали про эллиптический тип? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 09:08 


26/12/16
16
В методичке написано если ${B}^{2}-AC > 0$ уравнение гиперболического типа, ${B}^{2}-AC < 0$ уравнение эллиптического типа, ${B}^{2}-AC = 0$ уравнение гиперболического типа параболического типа. Или я что-то не понимаю? Помогите разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ilya_by в сообщении #1180375 писал(а):
В методичке написано если ${B}^{2}-AC > 0$ уравнение гиперболического типа,

В методичке все верно записано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 12:24 


26/12/16
16
Получается при y<0 у меня получается гиперболический тип.
Решая дифференциальное уравнение
$\partial y = \frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$

$\partial y = \frac{-\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$
Замена переменных
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
{x}^{2}y-2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}=\xi\\
{x}^{2}y+2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}=\eta\\
\end{array}
\right.$$
Правильно ли я тут делаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):
Правильно ли я тут делаю?

Нет. Например, вот это:
Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):
$\partial y = \frac{-\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$

ни в какие ворота не лезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 12:43 


26/12/16
16
В чём ошибка тогда? В методичке так и решают формула $\partial y=\frac{B(x,y) + или - \sqrt{{B}^{2}-AC}}{A(x.y)}dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я написал, в чем ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 13:11 


26/12/16
16
я - пропустил, всё исправил!

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Что вам мешает проверить свои действия подстановкой уравнений характеристик в отвечающие им дифуры?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 13:25 


26/12/16
16
Получается я не правильно решил уравнение, пойду решать

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):
Решая дифференциальное уравнение
$\partial y = \frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$
Какая-то странная у Вас запись дифференциального уравнения. В методичке так и написано — с частными дифференциалами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 14:34 


26/12/16
16
В методичке написана одна формула ту которую я писал без пояснений и простой пример приведён

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну так в примере-то какие дифференциалы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести к каноническому виду
Сообщение27.12.2016, 15:32 


26/12/16
16
Очень простые примеры.
${x}^{3}\partial{y}^{2}-{y}^{5}\partial{x}^{2}=0$
Решение
P=${x}^{3}$, Q=${y}^{5}$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial P}{\partial y}={({x}^{3})'_{y}}=0\\
\frac{\partial Q}{\partial y}={(-{y}^{5})'_{x}}=0\\
\end{array}
\right.$$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
$F=\int\limits{x}^{3}\partial x = \frac{{x}^{4}}{4} + \varphi(y)$
$({\frac{{x}^{4}}{4} + \varphi(y)})'_{y} = 0 + ({\varphi})'_{y}$
$\frac{\partial F}{\partial y}={\varphi}'_{y}(y)$
${\varphi}'_{y}(y)=-{y}^{5}$
$\varphi(y)=\int\limits-{y}^{5}\partial y = -\frac{{y}^{6}}{6}+C$
$F=\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{y}^{6}}{6}+C$
Ответ $\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{y}^{6}}{6}+C$
что дальше нужно делать

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group