2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одинаковые суммы и произведения
Сообщение26.12.2016, 16:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Существуют ли 6 различных натуральных чисел таких, что сумма первых трёх равна сумме остальных, а произведение первых трёх равно произведению остальных чисел?

б) При каких натуральных $n$ существуют $2n$ различных натуральных чисел таких, что сумма первых $n$ равна сумме остальных, а произведение первых $n$ равно произведению остальных чисел?

В пункте а) нетрудно подобрать нужные нам числа.
Например, 12, 25, 26, 13, 20 и 30.
Действительно, $12+25+26=13+20+30=63$, значит, суммы одинаковы.
Помимо этого, $12\cdot 25\cdot 26=13\cdot 20\cdot 30=7800$, значит, и произведения тоже одинаковы.

Насчёт пункта б) полагаю, что $n$ должно быть кратно 3 (хотя, скорее всего, я ошибаюсь, интуиция подсказывает).
В этом случае можно взять сколько угодно шестёрок чисел, отношения между которыми такие же, как в пункте а).
Например, при $n=6$ можно взять следующие 12 чисел:
12, 25, 26, 36, 75, 78, 13, 20, 30, 39, 60 и 90.
Действительно, $12+25+26+36+75+78=13+20+30+39+60+90=252$, значит, суммы одинаковы.
Помимо этого, $12\cdot 25\cdot 26\cdot 36\cdot 75\cdot 78=13\cdot 20\cdot 30\cdot 39\cdot 60\cdot 90=1642680000$, значит, и произведения тоже одинаковы.

Как решать дальше?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые суммы и произведения
Сообщение26.12.2016, 17:37 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Пусть уже есть $n$ и $n$ чисел, с суммой $S$ и произведением $P$, в каждой кучке. Умножим их все, на всякий случай, на $2^n - 1$, теперь их сумма делится на $2^n - 1$:
$S = k(2^n -1)$.
Добавим ко второй кучке число $X=k\cdot2^n$.
Получим кучку с суммой $S+X = 2S+k$ и произведением $k\cdot2^n\cdot P$
Умножим все числа первой кучки на 2, и добавим число $Y=k$, получим кучку с суммой $2S +k$ и произведением $k\cdot 2^n\cdot P$ .
Процесс пошел!

(Оффтоп)

Правда, надо еще заботитЬся о неодинаковости чисел...
Ну, можно домножать одну кучку на $a$, другую - на $b$, принудительно обеспечив (домножением всех чисел) делимость суммы на $T=\frac{b^n -a^n}{b-a}$ (выше было $a=2, b=1$) - чтобы избечь одинаковости в подправленных старых числах, и к кучкам добавить числа $X=b^n \cdot k, Y = a^n \cdot k,$ где $k = \frac{S}{T}$ (они - разные, и отличаются от прочих неделимостью на $T$). Нда, не очень аккуратно.... - надо чистить

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые суммы и произведения
Сообщение27.12.2016, 01:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
DeBill
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gevin Magnus


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group