2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение26.12.2016, 10:31 
Аватара пользователя


29/11/16
222
Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, лекция 41, § 4 Случайные блуждания
http://www.politazbuka.info/biblioteka/ ... iyami.html , стр.61

Цитата:
Что можно сказать о произведении $x$ на силу? Хоть частица и добралась до точки $x$, последующие толчки могут быть направлены в любом направлении по отношению к $x$, ведь случайная сила полностью случайна и ей нет дела, откуда частица начала двигаться. Если кордината $x$ положительна, у средней силы нет никаких оснований направиться в этом же направлении. Для нее оно столь же вероятно, как и любое другое. Случайные силы не могут отправить частицу в определенном направлении. Поэтому среднее произведения $x$ на $F_x$ равно нулю. С другой стороны, слагаемому $mx(d^2x/dt^2) можно, немного повозившись, придать вид
$mx\,\tfrac{d^2x}{dt^2} = m\,\tfrac{d[x(dx/dt)]}{dt} -
m(\tfrac{dx}{dt})^2.
Мы разбили первоначальное слагаемое на два и должны усреднить их оба. Посмотрим, чему же равно произведение х на скорость. Это произведение не изменяется со временем, потому что, когда частица попадает в заданную точку, она уже не помнит, где она была раньше, и характеризующие такие ситуации величины не должны зависеть от времени. Поэтому среднее значение этой величины равно нулю.


Никак не могу понять ни почему $xF_x=0, ни почему $xdx/dt = 0. По 1-му мы должны сложить множество случайных векторов силы, верно? Но в гл.32 Фейнман упоминал, что если складывать много векторов в случайных направлениях, то результирующий вектор будет = \sqrt{\text{Number of atoms}}, а не ноль. По 2-му также неясно, т.к. есть некая ненулевая скорость диффузии и ненулевой радиус распространения атомов в среде, следовательно $x\neq 0$ и $dx/dt\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фейнмановские лекции по физике. Лекция 41. § 4.
Сообщение26.12.2016, 12:08 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):
Но в гл.32 Фейнман упоминал, что если складывать много векторов в случайных направлениях, то результирующий вектор будет $= \sqrt{\text{чило атомов}}$, а не ноль.

И в какую сторону этот вектор будет направлен? И почему именно в эту?
Выражение, которое вы написали, верно для модуля суммарного вектора.

Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):
По 2-му также неясно, т.к. есть некая ненулевая скорость диффузии и ненулевой радиус распространения атомов в среде, следовательно $x\neq 0$ и $dx/dt\neq 0$.

Координата и скорость - независимые случайные величины, поэтому среднее от произведения равно произведению средних.
Чему равны среднее смещение и средняя скорость при изотропной диффузии?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.12.2016, 12:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.12.2016, 15:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 26.12.2016, 16:00 --

Пожалуй, это тот случай, когда векторное описание проще, чем рассмотрение проекций. Если радиус-вектор частицы $\vec r$, а случайная сила $\vec F$, то аналогичные выкладки для уравнения движения приведут к необходимости сосчитать $\langle \vec r \cdot \vec F \rangle = \langle r F \cos \theta \rangle$, где $\theta$ - угол между $\vec r$ и $\vec F$. После этого можно сказать, что, поскольку направления и модули $\vec F$ друг от друга не зависят (и всевозможные направления случайной силы равновероятны), то честно вычисленное среднее можно разбить на произведение средних величин. Соответственно, одним из сомножителей будет $\langle \cos \theta \rangle$, которое при изотропии очевидно равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фейнмановские лекции по физике. Лекция 41. § 4.
Сообщение26.12.2016, 16:31 
Аватара пользователя


29/11/16
222
DimaM в сообщении #1180183 писал(а):
Чему равны среднее смещение и средняя скорость при изотропной диффузии?

Если взять один атом и заставить его двигаться вдоль оси X, то за время $t$ в 50% экспериментов он будет смещён в среднем на +\sqrt{\alpha t} и в 50% он будет смещен на -\sqrt{\alpha t}. Поэтому среднее арифметическое будет ноль. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение26.12.2016, 16:39 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Uchitel'_istorii в сообщении #1180241 писал(а):
Если взять один атом и заставить его двигаться вдоль оси X, то за время $t$ в 50% экспериментов он будет смещён в среднем на $+\sqrt{\alpha t}$ и в 50% он будет смещен на $-\sqrt{\alpha t}$. Поэтому среднее арифметическое будет ноль. Правильно?

Средние положительные и отрицательные смещения при гауссовском распределении будут другими (в $\sqrt{2\pi}$ раз меньше).
Но среднее будет действительно нуль (проще всего, мне кажется, понять в модели пьяного моряка, где смещение за шаг фиксировано $\pm d$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение26.12.2016, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DimaM в сообщении #1180243 писал(а):
в $\sqrt{2\pi}$ раз меньше

Для оценок "по порядку величины" этим множителем можно пренебречь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение27.12.2016, 05:38 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Munin в сообщении #1180314 писал(а):
Для оценок "по порядку величины" этим множителем можно пренебречь.

Мне, скорее, не нравится сама постановка "в 50% случаев будет среднее смещение $+l$, в оставшихся 50% $-l$". Ну и не вредно еще разок намекнуть, что среднее не равно корню из среднего квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение27.12.2016, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
С первым умеренно согласен, со вторым крайне согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение27.12.2016, 22:32 


18/09/16
121
Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):
Никак не могу понять ни почему $xF_x=0$, ни почему $xdx/dt = 0$.

По второму вопросу, на мой взгляд, текст Фейнмана надо читать так - производная по времени $x$ на скорость равна нулю.
Смотрим с чего все начинается:
$\left\langle R^2\right\rangle =\alpha t$ (41.17)
Для одномерного случая:
$\left\langle x^2\right\rangle =\dfrac{1}{3}\alpha t$
Теперь берем производную по времени:
$\dfrac{d}{dt}\left\langle x^2\right\rangle =\dfrac{1}{3}\alpha$
В свою очередь:
$\dfrac{d}{dt}\left\langle x^2\right\rangle = \left\langle 2x\dfrac{dx}{dt}\right\rangle $, т.е. $\left\langle x\dfrac{dx}{dt}\right\rangle =\dfrac{1}{6}\alpha$
Теперь смотрим на преобразование первого члена формулы (41.19):
$\left\langle mx\dfrac{d^2x}{dt^2}\right\rangle = \left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (x\dfrac{dx}{dt}\right )\right\rangle - \left\langle m \left (\dfrac{dx}{dt}\right )^2\right\rangle$
$\left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (x\dfrac{dx}{dt}\right )\right\rangle = \left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (\dfrac{1}{6}\alpha\right )\right\rangle = \left\langle0\right\rangle$, т.к. $\alpha =  \operatorname{const}$, а усреднение тут вообще ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение28.12.2016, 00:04 
Аватара пользователя


29/11/16
222
Цитата:
Ну и не вредно еще разок намекнуть, что среднее не равно корню из среднего квадрата.
Среднее арифметическое отклонений не равно среднеквадратичному отклонению по определению. Но в лекции 6 Фейнман пишет, что среднее расстояние и есть среднеквадратичное.


Цитата:
Мне, скорее, не нравится сама постановка "в 50% случаев будет среднее смещение $+l$, в оставшихся 50% $-l$".

Смещения могут быть любые: от нуля до $\pm |NL|$, ($N$ - количество столкновений, $L$ - длина свободного пробега). Если разделить отрезок $[-|NL|;+|NL|]$ на равные интервалы, то наибольшее количество исходов будет со смещением , попадающим в интервал вблизи нуля. Но тогда я не могу понять, что означает среднеквадратичное отклонение и что оно показывает. - Что больше этого отклонения атом не уйдет? - Нет, есть вероятность 33%, что будет большее отклонение. - Что это среднее отклонение? - Тоже нет. - Вероятность получить с.-к. отклонение больше, чем любое другое? - Опять нет, наибольшая вероятность - получить нулевое отклонение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение28.12.2016, 05:16 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Uchitel'_istorii в сообщении #1180555 писал(а):
Но тогда я не могу понять, что означает среднеквадратичное отклонение и что оно показывает.

Оно показывает средний квадрат смещения ;).
Если выпустить из одной точки много частиц, то среднеквадратичное отклонение даст некоторый характерный размер этого облака.

-- 28.12.2016, 09:23 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1180555 писал(а):
Но в лекции 6 Фейнман пишет, что среднее расстояние и есть среднеквадратичное.

Там, насколько я понимаю, говорится исключительно про среднеквадратичное.

Кстати, несложно написать программку, которая бы случайно смещала частицы влево или вправо, да поглядеть, как меняется гистограмма со временем.
У нас нечто подобное уже было проделано, поглядите в методичке - раздел 1.5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение31.12.2016, 11:36 
Аватара пользователя


29/11/16
222
DimaM в сообщении #1180566 писал(а):
У нас нечто подобное уже было проделано, поглядите в методичке - раздел 1.5.

Допустим, программа будет моделировать 100 заходов по 30 шагов в каждом, как это описано для монет в лекции 6, где орел означает шаг +1 , а решка -1. Тогда среднее расстояние нужно рассчитать так:
$<D>=\tfrac{D_1+D_2+...+D_{100}}{100}$,
где $D_i$ - расстояние от точки старта, наблюдаемое в i-том заходе поле 30 шагов.
Среднеквадратичное расстояние нужно рассчитать так:
$D_{rms}=\sqrt{\tfrac{(D_1)^2+(D_2)^2+...+(D_{100})^2}{100}}$
Правильно? И мы должны получить $D_{rms}=\sqrt{30}$ и $<D>=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Эйнштейна для броуновского движения
Сообщение31.12.2016, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Увы, матстатистика так не работает. Вы получите только примерно $\langle D\rangle\approx 0.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group