2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел функции
Сообщение25.12.2016, 22:49 
Аватара пользователя


26/03/13
326
Russia
Помогите посчитать предел: $$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \dfrac{m}{1-x^m} - \dfrac{n}{1-x^n}  \right)$$
Как здесь продвинуться? По Лопиталю? Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение25.12.2016, 23:00 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Сделать замену переменных и применить формулу бинома не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение25.12.2016, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Еще можно вспомнить, что $1-x^k=(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{k-1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 04:28 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Неудивительно: чтобы решить такую задачу, надо перевоплотиться в "хирурга" второго уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск

(Оффтоп)

А кто такой "хирург" первого уровня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 10:58 
Аватара пользователя


07/01/15
1145

(Оффтоп)

Тот, кто ограничивается вторым слагаемым ряда Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 11:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
По Лопиталю?

А почему бы и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:29 


05/09/16
11468
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Возможно, трудность в том, что когда вы применяете правило Лопиталя, вы не выносите $x^{-1}$ за скобку, например не видите, что $x^{m-1}-x^{n-1}=x^{-1}(x^m-x^n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:48 


05/09/16
11468
ewert в сообщении #1180190 писал(а):
Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

Если после приведения к общему знаменателю и первого применения Лопиталя не сократить дробь на $x^{-1}$ то жить потом конечно можно, но сложно. А если сократить -- то жить намного проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
wrest в сообщении #1180191 писал(а):
не сократить дробь на $x^{-1}$
Да откуда у Вас там $x^{-1}$ берётся? Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:12 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Someone, там действительно удобно выносить $x^{-1}$, даже лучше со знаком минус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:17 


05/09/16
11468
Someone в сообщении #1180218 писал(а):
Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

Ну раз даже вы не видите... Хотя может у вас автопилот в голове это сам все сокращает.

Смотрите: $(x^m)'=mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$
Я предположил, что у ТС возникли затруднения именно с этим, что $mx^{m-1}=x^{-1}mx^{m}$ Ведь если не скоращать, то вторая производная будет $(x^m)''=(mx^{m-1})'=m(m-1)x^{m-2}$

Возможно, у ТС затруднения с чем-то другим. Дифференцировать надо два раза, между дифференцированиями -- сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на $x^{-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
wrest в сообщении #1180222 писал(а):
$mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$
Нафиг??? Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:50 


05/09/16
11468
Someone в сообщении #1180228 писал(а):
Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

Я просто порекомендовал ТС обратить внимание на то, что
$\dfrac{mnx^{n-1}-mnx^{m-1}}{(m+n)x^{m+n-1}-nx^{n-1}-mx^{m-1}}=\dfrac{mnx^m-mnx^n}{(m+n)x^{m+n}-nx^n-mx^m}}$

Может у вас в голове это автоматом все упрощается, и вы просто не понимаете откуда тут могут возникнуть затруднения? Может, вам вообще упрощения не нужны и вы сразу видите конечный ответ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group