Конечно аксиоматизируемый класс, теория моделей.

[Iv_Vol]

arseniiv в сообщении #1186654 писал(а):

knizhnik в сообщении #1186632 писал(а):

$f$, как вы ее определили, это коммутативная операция, поэтому
$a \leqslant b \leftrightarrow b=afb=bfa=a$.

Можно вывести это подробнее?

Вот над этим сейчас и думаю. Если правильно понимаю, нужно задать $ \varphi_s_u_p (x,y,b) $ - формулу для определения точной верхней грани, не используя знак $\leqslant$.
А уже с помощью нее нужно записать аксиомы ЧУМ.

[arseniiv]

Так вы же задали.

Iv_Vol в сообщении #1186630 писал(а):

$af(bfc)=(afb)fc$,
$afb=bfa$,
$afa=a$.

Отношение

Iv_Vol в сообщении #1186630 писал(а):

$a \leqslant b \Leftrightarrow afb=b$

будет отношением частичного порядка (можете тоже вывести рефлексивность, антисимметричность, транзитивность — я-то думал, вы уже ).

[Iv_Vol]

Да, рефлексивность, антисимметричность и транзитивность $\leqslant$ я вывел. Главное теперь это в аксиомах уложить.
Получается, что теория
$ \forall a,b,c (af(bfc))=(afb)fc$,
$ \forall a,b (afb)=bfa$,
$ \forall a (afa)=a$.
$ \forall x (\varphi_\leqslant (x,x))$
$ \forall x \forall y ((\varphi_\leqslant (x,y) \wedge \varphi_\leqslant (y,x)) \to x = y) $
$ \forall x \forall y \forall z ((\varphi_\leqslant (x,y) \wedge \varphi_\leqslant (y,z)) \to \varphi_\leqslant (x,z)) $
$ \forall x \exists y (\varphi_\leqslant (x,y)) \wedge \neg (x=y) $
$\varphi_\leqslant (a,b) = (afb=b)$ \\ $\leqslant$ истинно, когда $afb=b$
порождает конечно аксиоматизируемый класс, состоящий только из бесконечных систем?

-- 23.01.2017, 01:48 --

Или же для решения задачи нужно просто записать аксиомы
$ \forall a,b,c (af(bfc))=(afb)fc$,
$ \forall a,b (afb)=bfa$,
$ \forall a (afa)=a$.
$ \forall a \exists b (afb=b) \wedge \neg (a=b) $
и отдельно доказать рефлексивность, антисимметричность, транзитивность порядка $\leqslant$ ?

[arseniiv]

Угу. После этого посчитаем $\varphi_{\leqslant}(a,b)$ сокращением для $afb = b$ и уберём аксиомы 4—6 и последнюю, т. к. они будут выводимы из остальных.

-- Пн янв 23, 2017 01:17:34 --

Iv_Vol в сообщении #1186665 писал(а):

Или же для решения задачи нужно просто записать аксиомы
$ \forall a,b,c (af(bfc))=(afb)fc$,
$ \forall a,b (afb)=bfa$,
$ \forall a (afa)=a$.
$ \forall a \exists b (afb=b) \wedge \neg (a=b) $
и отдельно доказать рефлексивность, антисимметричность, транзитивность порядка $\leqslant$ ?

Да, всё так.

[knizhnik]

Ладно, удалил.

[Iv_Vol]

Собственно, вывод 4-6 - это и есть доказательство рефлексивности, антисимметричности и транзитивности :)

[arseniiv]

Да, с этим не поспоришь.

knizhnik
Давайте тогда по-другому. Вот эти три аксиомы. Вот вам интерпретация языка:
• область — булева алгебра (любая);
• $=$ как равенство;
• $f$ — конъюнкция.

Убедитесь, что все три аксиомы истинны в ней.

[knizhnik]

-- 22.01.2017, 11:28 --

arseniiv, какие три аксиомы? Напишите.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1186679 писал(а):

arseniiv, какие три аксиомы? Напишите.

Которые мы обсуждаем как минимум полстраницы:

Iv_Vol в сообщении #1186630 писал(а):

$af(bfc)=(afb)fc$,
$afb=bfa$,
$afa=a$.

-- Пн янв 23, 2017 01:33:11 --

…и потом в данной же интерпретации можно посмотреть на то, какое отношение выражает формула $afb = b$. (Вы не поверите.)

[knizhnik]

Да, я тут удалил немного. У меня было неверное представление об этой операции.

-- 22.01.2017, 11:45 --

arseniiv в сообщении #1186680 писал(а):

посмотреть на то, какое отношение выражает формула $afb = b$

$0 \wedge 0 = 0 \ $
$1 \wedge 0 = 0 \ $
$1 \wedge 1 = 1 \ $
Хотя конечно, более естественно использовать здесь символ $\geqslant$, чтобы получилось $1 \geqslant 0$.

[Iv_Vol]

Да, все верно. Я использовал знак $f$, потому что он дан в условии.

[arseniiv]

knizhnik
Это я неудачно предложил конъюнкцию, надо было дизъюнкцию.

[Iv_Vol]

Да, и я не обратил внимание

[knizhnik]

А почему тогда сразу не взять аксиомы строгого порядка? Там ведь антирефлексивность. И все. Затем уже задать аксиомой эту бесконечную цепочку элементов.

[arseniiv]

Предлагаете заменить идемпотентность на $afa\ne a$? В принципе, можно, т. к. идемпотентность нигде больше, кроме доказательства рефлексивности, не используется.