2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение25.12.2016, 15:24 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
Существует ровно одно натуральное число, которое в 11 раз больше суммы своих цифр. Это число 198.
А при каких ещё натуральных $k$ существует ровно одно натуральное $n$, которое в $k$ раз больше суммы своих цифр? Конечно или бесконечно множество таких $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение26.12.2016, 16:18 
Аватара пользователя


26/09/16
23
Снегири
Спешу предположить, что число 1980 ровно в 110 раз превосходит сумму своих цифр, и это - единственное такое число.

То есть, понятно, что если $k = 110$, то число $n$ должно быть кратно 10, а значит $n/10$ кратно 11, при этом сумма цифр в записи $n$ равна сумме цифр в записи $n/10$. И как я только что узнал, есть только одно натуральное число, которое при делении на 11 даёт сумму цифр в своей записи, т.е. будет существовать ровно одно число, которое будет давать сумму своих цифр при делении на $110$. И ещё одно для $k = 1100$.
Так, с шагом в десять раз, мы получим бесконечное количество натуральных $k$, удовлетворяющих нужному условию.

А вот как найти другие числа - вопрос хороший.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение26.12.2016, 16:21 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
SVD-d
Большое спасибо за интересное решение!
Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение30.12.2016, 11:32 
Аватара пользователя


29/04/13
2596
Ktina в сообщении #1180239 писал(а):
Теперь бы ещё все такие $k$ найти...

Что-то пока сложно. Ясно только, что все такие $k$ имеют вид $k=3a$ либо $k=3a-1$ для натуральных $a$.

Но далеко не все такие $k$ годятся. Первые неподходящие $k=26$ и $k=27$.

Интересны также такие $k$, для которых есть много натуральных $n$, которые ровно в $k$ раз больше суммы своих цифр. Здесь особняком стоит $37$, для которого существует аж $15$ таких чисел. Наступающий год тоже весьма хорош в этом плане. Для $2017$ существует $16$ таких чисел.

Коротенькая табличка до $18$ уже есть: A058913. Кстати, там ошибка. Правильные значения получаются, если индексы идут с $0$ до $18$, а не с $1$ до $19$.

Продолжение этой последовательности: $16687, 104302, 171586, 174286...$

Интересно посчитать также суммы цифр её членов:

$8, 2, 8, 4, 4, 13, 16, 10, 10, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 28, 10, 28, 28...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение числа к сумме его десятичных цифр
Сообщение30.12.2016, 12:36 
Аватара пользователя


26/09/16
23
Снегири
Кстати, да. Я в своё время тоже заметил, что чисел k, которые подходят к условию про ровно одно натуральное n, куда больше, чем тех, которые под это условие не подходят.
Я пытался что-то придумать, дошёл до того, что в большинстве случаев $n = 18k$ если $9k$ имеет столько же цифр, что и $k$, и $n = 9k$, если нет. Но дошёл до первого же контрпримера и всё забросил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group