2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 09:51 


07/11/16
5
Всем доброе время суток!

Помогите найти интеграл

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\exp \left ( -\frac{1}{2}\frac{1+k^{2}}{\cos^{2} \gamma +k^{2}\sin^{2} \gamma} \right )d \gamma,$

где $k$ может принимать значения от $0$ до $1$, $\gamma$ - переменная интегрирования (в угловых единицах).

Решал методом Ньютона-Котеса при $m=6$ с точностью до $15$ знака после запятой. Вычисления получаются ну уж больно громоздкими.

Кто нибудь может подсказать другие методы решения данной задачи, например разложением в ряды?

Можно ли решить задачу с использованием функции erf (функции ошибок (функции Лапласа или интеграла вероятности))?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 10:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
YuryNav
Можно попробовать так:
1. Разлагаем экспоненту по Тейлору.
2. Делаем замену $t=\tg x$. Получим кучу интегралов типа
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1+t^2)^{n-1}}{(1+k^2t^2)^n}dt$$
3. Из $k^2(1+t^2) = (k^2 -1) + (1+k^2t^2)$, разлагая по биному числитель, сведем к интегралам вида
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dt}{(1+k^2t^2)^m}$$
4. Последние интегралы считаем по ТФКП (или через рекк. формулы)

Итого: получится довольно громоздко, но - считабельно: ряд сходится довольно быстро; по прикидкам, для вашей точности (15 знаков) потребуется примерно 15 членов ряда

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 14:30 


07/11/16
5
Спасибо DeBill.

Буду пробовать.

сразу вопрос:
разложение по Тейлору или по Маклорену? Если по Тейлору, то какой параметр $a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
$a=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение23.12.2016, 22:49 


07/11/16
5
Уважаемый Someone, при $a=0$, ряд Тейлора называется рядом Маклорена. В этом и был вопрос. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение11.01.2017, 10:41 


07/11/16
5
Спасибо всем ответившим.
Разобрался с вариантом DeBill.
Может кто нибудь подскажет другие методы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение12.01.2017, 20:49 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
YuryNav
А в чем трудность? Подынтегральная функция меняется достаточно плавно , мне кажется формула Симпсона должна дать хороший результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти определенный интеграл
Сообщение16.01.2017, 11:08 


07/11/16
5
Спасибо за ответ mihiv.
Пробовал я формулу Симпсона. При $k$ близкой к $0$ вычисления очень громоздкие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group