Неравенство с олимпиады

[Rusit8800]

Доказать неравенство для всех действительных $a$ и $b$

$${a^2} + ab + {b^2} \geqslant 3(a + b - 1)$$

Я пытался:
1) Доказать неравенство только с помощью преобразований(вообще в указании сказано, что можно решить именно так)
Для этого я приводил левую часть к виду ${\left( {a - b} \right)^2} + 3ab$ и ${\left( {a + b} \right)^2} - ab$ . У последнего варианта было больше шансов "на успех", так как правая часть была бы похожа на левую, однако это не помогло, даже если возводить в квадрат.
2) Применить неравенство между средним арифметическим и геометрическим для чисел $6a,6b, - 6$. Но когда я возвел все в куб, решать мне дальше не захотелось...
Можете дать указание к решению?

[12d3]

Rusit8800 в сообщении #1179241 писал(а):

Доказать неравенство только с помощью преобразований(вообще в указании сказано, что можно решить именно так)

Угу, так можно. Выделите полный квадрат, содержащий $a$.

[DeBill]

Rusit8800
Посмотрите на все это дело как на квадратный трехчлен относительно $a$, и сосчитайте дискриминант
(Конечно, это равносильно предложенному 12d3)

[wrest]

DeBill в сообщении #1179247 писал(а):

Посмотрите на все это дело как на квадратный трехчлен относительно $a$, и сосчитайте дискриминант

Это как-бы нечестно выходит, если решить надо "только с помощью преобразований".

Так что надо приводить к виду $Ax^2+By^2$ где $A$ и $B$ числа, большие нуля, а $x$ и $y$ функции (многочлены) от $a$ и $b$

[Rusit8800]

Дискриминант $-3(b^2-2b+1)$ всегда меньше или равен 0, ветви направлены вниз.
Спасибо, никогда бы не додумался так сделать.
Еще вопрос. Если бы я взял вместо левой части среднее геометрическое чисел $6a,6b, - 6$, то такое усиление обязательно бы работало в общем случае?

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1179253 писал(а):

бы работало

Это вряд ли: оно заточено под положительные числа.
Но если Вам ОЧЕНЬ хочется получить все из общих неравенств, то - можно:
Неравенство Коши $(x,y)^2$$\leqslant (x,x)\cdot (y,y)$ для пары векторов
$x=(2a+b, b, b, b, ~~~~ 3~, ~ 1, 1, 1)$ и
$ y=(~3~~~~~,1,1,1,2a+b,b,b,b)$
дает то что надо....