2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 21:06 


21/12/16
3
Справочное пособие по методам решения задач по математике, А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский, 1984 г. (Глава 14, параграф 3) писал(а):
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле $$ (a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+ \dots +C^m_na^{n-m}b^m+ \dots +C^n_nb^n. \eqno{(1)}$$
Правая часть формулы называется разложением степени бинома. Коэффициенты $C^m_n=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ называются биномиальными коэффициентами. Общий вид слагаемых в правой части формулы $(1)$ обычно записывают в виде
$$T_k=C^k_na^{n-k}b^k,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n. \eqno {(2)}$$
Число всех слагаемых равно $n+1$.

Разве приведённая формула k-го члена разложения верна?
Например, из неё следует, что в разложении $(a+b)^n$ первый член равен $C^1_na^{n-1}b$, хотя он в действительности не содержит $b$. Получается, по логике этого учебника, одночлен, стоящий первым в разложении бинома ($a^n$), является нулевым членом разложения. (Соответственно, что стоит вторым - первый член, что стоит третьим - второй член, ... и т.д.) Это разве правильно (или так просто принято? (или принято только в этом учебнике :roll: ))?
По-моему, правильно так: $T_k=C^{k-1}_na^{n-k+1}b^{k-1}$ или $T_{k+1}=C^k_na^{n-k}b^k$. Да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 21:15 


20/03/14
12041
Там написано, как $k$ меняется. Вовсе не с единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 22:05 


21/12/16
3
Ну да, с нуля. Просто, в других источниках (учебниках) под $T_k$ имеют в виду член, стоящий на $k$-м месте. А здесь $T_0$ - стоящий на 1-ом месте, $T_1$ - стоящий на 2-ом месте и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 22:08 


20/03/14
12041
Как чего назовешь, так оно и поплывет.
Назвали нулевым. Вполне естественная нумерация, в порядке возрастания степени вхождения $b$ в мономы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 03:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вот никогда не понимал искусственное приведение интервалов к начинающимся по вкусам автора либо всем с нуля, либо всем с единицы — ну ведь разное удобнее в разных случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
В формуле указаны зависимость слагаемых от индекса и мешок множество индексов. Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке. Первым можно поставить любой член, например с индексом $2$ или $n-1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 07:48 


21/12/16
3
Значит, итог таков, что в разных источниках сочетание слов "$k$-ый член разложения" может подразумевать не одно и то же? Если, например, на экзамене встретится это сочетание, как понять, что там имеется в виду? (Не на ЕГЭ каком-нибудь, когда понятно, что объяснял преподаватель на уроках - то и имеется в виду, а, например, на экзамене в ВУЗ)
arseniiv в сообщении #1179094 писал(а):
ну ведь разное удобнее в разных случаях.

Получается, это "удобнее" к разногласиям приводит...
bot в сообщении #1179107 писал(а):
Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке.

Судя по большому количеству задач на бином Ньютона типа "Найти $k$-ый член разложения ...", заставляют...

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 08:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
eee\ в сообщении #1179108 писал(а):
Найти $k$-ый член разложения

Да, это неудачная формулировка.

-- Чт дек 22, 2016 11:04:42 --

Но что-то в больших количествах я таких задач не припоминаю. Обычно смысл спрашиваемого легко усматривается из контекста или, в конце концов, из ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Так ведь и по определению натуральных чисел есть разногласия - является ли 0 натуральным числом...
В общем, это вопрос соглашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Когда ряды рассказывал, обычно сразу предупреждал, что под $k$-м членом всегда (если специально не скажу другого) буду предполагать член с индексом $k$. Иначе путаница будет не только из-за разногласия с натуральностью нуля. Вот, скажем, $-\frac{x^3}{3!}$ - это какой член разложения синуса по формуле Тейлора, третий или четвёртый?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
bot в сообщении #1179119 писал(а):
третий или четвёртый?

Я б сказал, что второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
:D Эта ненаучная гипотеза в мыслях было, но вслух произнести побоялся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:58 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
bot в сообщении #1179119 писал(а):
третий или четвёртый?

Третий $-$ в этом случае удобно по степеням нумеровать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Вот. А степень в ряде Тейлора - это порядок производной, он и является индексом суммирования. И плевать нам на не/натуральность нуля, а также на обращение в нуль некоторых членов ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
bot в сообщении #1179124 писал(а):
Эта ненаучная гипотеза

Но ведь для просто устроенных и хорошо всем известных рядов можно же нумеровать только отличные от нуля члены? Или это по каким-то причинам плохо?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group