Случай в умф с неоднородным уравнением теплопроводности

[ZsigmondMoricz]

Добрый вечер. Пусть $f(x,t)=0$ при $t>T$ для некоторого $T>0$.
Требуется доказать с помощью преобразования Фурье, что решение задачи стремится к нулю:
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - u_{xx} = f(x,t), \quad x \in \mathbb{R}, \; t>0, \\ {}\qquad u(x,\;0)=0, \quad x \in \mathbb{R}.$

Долго смотрел я на формулу

$$u(x,t) = \int \limits_0^t \int \limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{2\sqrt{\pi (t-s)}} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds.$$

Вижу, что при $t>T$ получаем

$$u(x,t) = \int \limits_0^T \int \limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{2\sqrt{\pi (t-s)}} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds.$$

Тогда, при $t>>T$ подынтегральная функция стремится к нулю:
экспонента стремится к единице, знаменатель к бесконечности. Но, конечно, этого недостаточно. Как поступить?

[Vince Diesel]

Надо бы какие-то условия на $u$ и $f$, поскольку решение задачи Коши неединственно и не для всех правых частей $f$ решение можно представить в виде потенциала, написанного у вас. Ну и преобразование Фурье нигде не упоминается.

[ZsigmondMoricz]

Vince Diesel в сообщении #1178816 писал(а):

Надо бы какие-то условия на $u$ и $f$

Ну да, видимо, $f$ нужно считать таким, какой он в теореме (из $L_1$).
Еще смотрел-смотрел на формулу, и вроде дошло: экспонента-то теперь (хотя нет, и до так было) меньше единицы. Корень выводим с неравенством за интеграл. Остается интеграл от $f$, который должен сходиться. За счет корня все выражение стремится к нулю.

(Оффтоп)

Не зря йоги практикуют созерцание...

Именно, пусть $t = T+N$.
Тогда $s\leqslant T$
$-s\geqslant -T$
$t-s \geqslant T+N-T$
$t-s \geqslant N$
$\frac{1}{t-s} \leqslant \frac{1}{N}$

$$|u(x,t)| \leqslant \frac{1}{2\sqrt{\pi N}} \int \limits_0^T \int \limits_{\mathbf{R}} |f(y,s)|\, dy\,ds.$$

Теперь устремляем $N \to \infty $

[ewert]

ZsigmondMoricz в сообщении #1178806 писал(а):

Требуется доказать с помощью преобразования Фурье, что решение задачи стремится к нулю:

Это откровенное издевательство.

Во-первых, почему именно к нулю-то стремится. Почему, скажем, не к единице?...

Во-вторых: при чём тут метод Фурье?...

А в-третьих -- издевательство потому, что задача изначально тупо не поставлена.

[ZsigmondMoricz]

ewert в сообщении #1178851 писал(а):

А в-третьих -- издевательство потому, что задача изначально тупо не поставлена.

Пардон, моя вина )
Доказать, что в этом случае решение $u(x,t) $ задачи Коши стремится к 0 при $t \to +\infty$.