2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 14:38 


21/10/16
91
Мне нужно подготовиться к зачету. Преподаватель от меня хочет услышать ответ на этот вопрос. Я ему должен показать как это сделать.
Посмотрел теорему:
Цитата:
Пусть есть стандартное вложение $f: S^2 \to R^3$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $f_t: S^2 \to R^3, t\in[0,1]$ такое, что $f_0 = f $ и $f_1 = - f$.
Но как это доказать я плохо понимаю! Помогите, пожалуйста! Хотя бы общая схема!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
В Вашей формулировке решение тривиально: $f_t=f$ :D
Кое-что пропустили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 14:50 


21/10/16
91
Ну да! Спасибо! Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Это теорема Смэйла из гомотопической топологии. У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения. Обратите внимание, что при выворачивании допускаются самопересечения при соблюдении гладкости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 15:06 


21/10/16
91
gris, спасибо :) Сейчас посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
На эту тему есть замечательный ролик на Ютубе. Англоязычный - точно, а возможно и с переводом. Обязательно посмотрите!

-- 18.12.2016 15:32:20 --

https://www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
https://www.youtube.com/watch?v=eyNhhRCCMiI
(В сумме 20 минут. Английский звук + русские субтитры.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 17:22 


21/10/16
91
gris в сообщении #1178076 писал(а):
У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения

Я нашел в учебнике теорему о существовании на гладком компактном многообразии функций Морса. Там же упоминается, что в более общем виде эту теорему доказал Смейл. Теорема Морса и теорема Смейла о существовании непрерывных гладких погружений - получается одно и то же?

-- 18.12.2016, 17:38 --

Как Вы думаете, если я переформулирую теорему Смейла в такой вид и потом докажу это, так будет честно?
Цитата:
Любые два погружения $S^2 \to R^3$ регулярно гомотопны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Если честно, то я сдавал дифгем не приходя в сознание и из учебников помню только любимые места. Боюсь напутать :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 21:47 


21/10/16
91
А Вы про какой учебник Фоменко? Я смотрел в его курсе гомотопической топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну да. Есть ещё курс дифференциальной геометрии и топологии, современная геометрия Новикова. Я раньше мог разговаривать на эти темы, а сейчас уж не рискну.Но выворачивание сферы не относится к очень трудным вопросам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение18.12.2016, 22:48 


21/10/16
91
Это для Вас он не очень трудный, но говорить опасаетесь, а я затрудняюсь в вопросе, но кое-как говорю :D
Я не смог найти подходящий источник с полным доказательством теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение19.12.2016, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Уточнение: в указанном видеоролике описана процедура Тёрстона - одна из многих, разработанных разными математиками для выворачивания сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение19.12.2016, 01:41 


21/10/16
91
По видимому процедур выворачивания много. А где интересно в формализованном виде посмотреть процедуру Тёрстона?
Какая то проблема с доказательством и такой вот формулировкой теоремы Смейла. Я в упор не вижу этой теоремы в учебниках по гомотопу, алгетопу и дифгему. Читаю оглавление - нет. Читаю предметные указатели - тоже нет! Зато есть куча других теорем - теорема Штифеля, Уитни, ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение20.12.2016, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Если ещё актуально, то попробуйте найти книжку С.П. Новикова "Топология". Глава 4 "Гладкие многообразия", п. 4 "...Теория иммерсий...". Там как раз эти вопросы обсуждаются. Наверное, я перепутал это с Фоменко. Ну, немудрено. Вы правы насчёт регулярной гомотопности, но, собственно, это же и надо доказать. А это следует из того, что классы регулярных погружений определяются элементами соответствующей гомотопической группы, которая в вашем случае просто вырождается. А если есть всего один класс, то откуда взяться негомотопным иммерсиям?
Но дело в том, что вот эта гомотопология похожа на школьную геометрию. Такое же нагромождение теорем, которые можно переставлять по следованию друг из друга. У каждого ценящего себя профессора свой курс, и они часто ревниво относятся к сторонним учебникам. А иногда любят это. Не угадаешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
Сообщение21.12.2016, 00:59 


21/10/16
91
gris, еще актуально! Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group